Дан треугольник. MNO, в котором угол N тупой, а из вершин острых углов опущены две высоты MP и OQ. Докажи, что треугольники MNO и PNQ подобны.​

Давайте рассмотрим данный треугольник MNO со всеми его высотами.
Если треугольник MNO подобен треугольнику PNQ, то должны быть выполнены два условия:
1. Соответствие углов: каждый угол треугольника MNO должен быть равен соответствующему углу треугольника PNQ.
2. Соответствие длин сторон: соотношение длин сторон треугольника MNO должно быть равно соответствующему соотношению длин сторон треугольника PNQ.

Для доказательства подобия треугольников MNO и PNQ мы заметим следующее:
1. Угол MNO является вертикальным углом для угла PNQ, поскольку это углы, образованные пересечением двух прямых MN и NQ. Вертикальные углы равны, поэтому ∠MNO = ∠PNQ.
2. Угол NOQ является оппозитным углом для угла NQP, так как они расположены на разных прямых NO и PQ, пересекающихся в точке N. Оппозитные углы также равны, поэтому ∠NOQ = ∠NQP.
3. Из пункта 1 мы знаем, что ∠MNO = ∠PNQ, а из пункта 2 мы знаем, что ∠NOQ = ∠NQP.
4. Таким образом, мы можем сделать вывод, что все углы треугольника MNO равны соответствующим углам треугольника PNQ: ∠MNO = ∠PNQ и ∠NOQ = ∠NQP.

Теперь рассмотрим стороны треугольников MNO и PNQ.
1. Рассмотрим сторону MN треугольника MNO. Поскольку высоты MP и OQ опущены из вершин острых углов, они перпендикулярны стороне MN. Это означает, что угол NMP является прямым углом. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник NMP.
2. Высота MP является медианой прямоугольного треугольника NMP, таким образом, она делит его на два равных треугольника: MNP и MOP. Поскольку MNP и MOP являются половинами одного и того же треугольника, то они подобны.
3. Из подобия треугольников MNP и MOP следует, что соотношение длин сторон MN и MO равно соотношению длин сторон NP и OP. Обозначим длину стороны MN как a, длину стороны MO как b, длину стороны NP как c и длину стороны OP как d.
4. Соотношение длин сторон треугольников MNO и PNQ можно записать так: a/b = c/d.

Теперь, если мы рассмотрим сторону NO треугольника MNO, то для нее также будет выполняться условие 4 (так как NO также является основанием для высоты OQ). Поэтому соотношение длин сторон треугольников MNO и PNQ будет выглядеть также как для сторон MN и MO: a/b = c/d.

Таким образом, мы доказали, что все углы треугольника MNO равны соответствующим углам треугольника PNQ, а также что соотношение длин сторон треугольников MNO и PNQ одинаково.
Следовательно, треугольники MNO и PNQ подобны.