Дан треугольник EFG . HI — средняя линия треугольника EFG . HI−→=x→ и HF−→−=y→ . Вырази вектор HE−→− через векторы x→ и y→ .
HE−→− равен... (Выбери правильный ответ.)

Для того чтобы выразить вектор HE−→− через векторы x→ и y→, мы можем использовать соотношение между векторами в средней линии треугольника.

Согласно определению, средняя линия треугольника - это отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника и параллелен третьей стороне. В данном случае, HI является средней линией треугольника EFG, поэтому HI параллелен EF, а также HI делит EF пополам.

Поскольку HI делит EF пополам, то вектор HI−→ равен половине вектора EF−→. Или можно записать это следующим образом:
HI−→ = (1/2) * EF−→

Теперь мы можем выразить вектор HE−→− через векторы x→ и y→. Обратим внимание на треугольник HFE. Вектор EF−→ может быть выражен через векторы x→ и y→ следующим образом:
EF−→ = x→ + y→

Теперь подставим это выражение для EF−→ в выражение для HI−→:
HI−→ = (1/2) * (x→ + y→)

Однако нам нужно выразить вектор HE−→− через x→ и y→, а не через HI−→. Но мы можем использовать тот факт, что треугольники EFG и HFE подобны, и соответствующие стороны этих треугольников равны пропорциональны. Вектор HE−→− это соответствующая сторона треугольника EFG, соответствующая стороне EF−→ треугольника HFE.

Если треугольники подобны, то соответствующая сторона каждого треугольника пропорциональна соответствующим сторонам другого треугольника. Поэтому, если мы домножим вектор HI−→ на соответствующий коэффициент, то мы увидим, что это будет равно вектору HE−→−:
HE−→− = k * HI−→

Теперь нам нужно найти коэффициент k. Для этого мы можем использовать отношение длин соответствующих сторон треугольников EFG и HFE. В данном случае, соответствующая сторона HE−→− треугольника EFG пропорциональна стороне HI−→ треугольника HFE.

Другими словами, мы можем записать это следующим образом:
|HE−→−|/|HI−→| = |EF−→|/|FE−→|

Теперь мы знаем, что |EF−→| = |x→ + y→| и |FE−→| = |y→|. Подставим это в уравнение:
|HE−→−|/|HI−→| = |x→ + y→|/|y→|

На этом этапе мы можем воспользоваться свойством модуля вектора, которое гласит: |a + b| = sqrt(|a|^2 + 2*a*b + |b|^2). Это свойство называется формулой суммы двух векторов.

Подставим это в уравнение и продолжим:
|HE−→−|/|HI−→| = sqrt(|x→|^2 + 2*|x→|*|y→| + |y→|^2)/|y→|

Теперь у нас есть соотношение между длинами векторов HE−→−, HI−→, x→ и y→. Но нам нужно найти k, поэтому выразим это соотношение через коэффициент k:
k = |HE−→−|/|HI−→| = sqrt(|x→|^2 + 2*|x→|*|y→| + |y→|^2)/|y→|

Наконец, мы можем умножить выражение для HI−→ на k и получить выражение для HE−→−:
HE−→− = k * HI−→ = k * (1/2) * (x→ + y→)

После подстановки значения k, мы получим окончательное выражение для HE−→− через векторы x→ и y→:
HE−→− = sqrt(|x→|^2 + 2*|x→|*|y→| + |y→|^2)/(2*|y→|) * (x→ + y→)

Таким образом, выражение для вектора HE−→− через векторы x→ и y→ будет:
HE−→− = sqrt(|x→|^2 + 2*|x→|*|y→| + |y→|^2)/(2*|y→|) * (x→ + y→)