Дан треугольник авс. плоскость, параллельная прямой ав, пересекает продолжение стороны ас этого треугольника в точке м, а сторона вс в точке n. найдите длину отрезка mn, если ab = 7, mc : ac = 3 : 7

Если прямая параллельна плоскости и содержится в другой плоскости, пересекающей первую, то она параллельна линии пересечения этих плоскостей. 

В данном случае плоскость, которой принадлежит ∆ АВС, проходит через АВ, параллельную другой плоскости и пересекает её, поэтому линия  пересечения MN этих плоскостей параллельна АВ.

Поскольку плоскость, параллельная АВ, пересекает не сами стороны, а продолжения сторон АС и ВС, то  она проходит вне треугольника. (см. рис. 1 приложения)

.Соответственные углы при пересечении параллельных прямых АВ и MN секущими АМ и ВN равны. ⇒ ∆ АВС~∆ СMN ( их углы равны).  По условию MC : AC = 3 : 7,  значит,  ∆ MNC меньше      сходственных сторон ∆ АВС, и МN пересекает плоскость, в которой лежит ∆ АВС, по другую сторону от т.С. (см. рисунок)

Примем коэффициент отношения МС:АС=а.

 Тогда АС=7а, СМ=3а, а АМ=7а+3а=10 а.

Из подобия следует отношение:

СМ:АС=MN:AB

3a:7a=MN:7⇒ 

7 MN=21

MN=21:7=3 (ед. длины)

----------

Если MN проходит по ту же сторону от С, что АВ, то в условии ошибка и отношение МС:АС  не может быть 3:7, но может быть МА:АС=3:7

Тогда МС:АС=3:7, откуда МС=10 а  (см. рис. 2)⇒

MN:AB=MC:AC

MN:7=10:7⇒

 MN=10 ( ед.длины)