Дан треугольник ABC, F ϵ BC, E ϵ AC, CF : BF = 5 : 4. Через прямую FE проходит плоскость α, параллельная прямой AB. 1) Докажите, что CE : CA = 5 : 9.

2) Найдите длину отрезка FE, если AB = 18 см.

я буду очень благодарна ❤️​

1) Чтобы доказать, что CE : CA = 5 : 9, нам понадобится использовать соотношение между отношениями сторон треугольников, подобных друг другу.

Так как прямая FE параллельна AB, то углы BFE и BCA равны, также углы FEB и ACB равны (так как они являются соответственными углами при параллельных прямых).

Поскольку треугольники BFE и BCA подобны (они имеют равные углы), соотношение между их сторонами должно быть одинаковым.

Так как CF : BF = 5 : 4, а сторона BF является частью стороны AB (так как B, F и E лежат на стороне BC), то CF : AB = 5 : 4.

Аналогично, так как CE является частью стороны AC, CF : AC = 5 : 4.

Объединяя эти два соотношения, получаем: CF : AB : AC = 5 : 4 : 5.

Сокращая на общий множитель, получаем: CF : AB : AC = 1 : 4/5 : 1.

Так как AB = AC, то CF : AB = 1 : 4/5.

Аналогично: CE : CA = 1 : 4/5.

Сокращая на общий множитель, получаем: CE : CA = 5/5 : 4/5 = 5 : 9.

Таким образом, мы доказали, что CE : CA = 5 : 9.

2) Чтобы найти длину отрезка FE, мы можем использовать теорему Талеса.

Теорема Талеса гласит: если в треугольнике параллельна одна из сторон, то отрезок, соединяющий точки пересечения продолжений противоположных сторон с этой прямой, делит две противоположные стороны треугольника пропорционально.

Согласно теореме Талеса, мы можем записать следующее соотношение для треугольника ABC и линии FE: CF : AB = CE : AC = FE : BC.

По условию, CF : AB = 5 : 4 (это дано).

Также, мы доказали в пункте 1, что CE : CA = 5 : 9.

Подставляя значения и обозначая длину отрезка FE как х, мы получаем следующее уравнение: 5/4 = 5/9 = x/BC.

Мы также знаем, что AB = 18 см.

Используя пропорции, мы можем найти значение отрезка FE: 5/4 = 5/9 = x/18.

Мы можем решить это уравнение, перекрестно умножая: 4 * 5 = 5 * x/9, 20 = 5x/9.

Затем, умножая обе стороны на 9, получаем: 9 * 20 = 5x, 180 = 5x.

И, наконец, деля обе стороны на 5, получаем: 180/5 = x, 36 = x.

Таким образом, длина отрезка FE равна 36 см.

В итоге, мы доказали, что CE : CA = 5 : 9 и найдена длина отрезка FE, которая равна 36 см.