Дан треугольник ABC. AB – AC = 1 см, BC – AB = 1 см, косинус угла C равен 3/4. Найди периметр треугольника ABC.

на фото

Объяснение:

Добрый день! Давайте решим эту задачу.

Первым шагом нам нужно понять, какие данные известны нам о треугольнике ABC. У нас есть информация о длинах сторон треугольника и косинусе угла C.

Из условия известно, что AB – AC = 1 см. Это значит, что сторона AB на 1 см больше стороны AC. Запишем это уравнение в виде AB = AC + 1.

Также из условия дано, что BC – AB = 1 см. Это означает, что сторона BC на 1 см больше стороны AB. Запишем это уравнение в виде BC = AB + 1.

Из косинусного закона мы знаем, что cos(C) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC). Подставляя известные значения, получаем (3/4) = (AB^2 + AC^2 - (AB + 1)^2) / (2 * AB * AC).

Давайте разберемся с этим уравнением. Для начала раскроем квадрат (AB + 1)^2: (AB + 1)^2 = AB^2 + 2 * AB * 1 + 1^2 = AB^2 + 2AB + 1. Подставляем это значение в уравнение: (3/4) = (AB^2 + AC^2 - (AB^2 + 2AB + 1)) / (2 * AB * AC).

Сокращаем подобные слагаемые: (3/4) = (AC^2 - 2AB - 1) / (2 * AB * AC).

Теперь умножим обе части уравнения на (2 * AB * AC): (3/4) * (2 * AB * AC) = AC^2 - 2AB - 1.

Раскроем скобки: (3/4) * (2 * AB * AC) = AC^2 - 2AB - 1 → (3/2) * AB * AC = AC^2 - 2AB - 1.

Упростим полученное выражение: (3/2) * AB * AC = AC^2 - 2AB - 1 → 3 * AB * AC = 2 * AC^2 - 4AB - 2.

Теперь приведем уравнение к форме квадратного трехчлена: 2AC^2 - 3AB * AC - 4AB + 2 = 0.

Для решения квадратного уравнения, можно использовать формулу корней: AC = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), где a, b и c - это коэффициенты перед переменными в квадратном уравнении.

В нашем случае a = 2, b = -3AB и c = -4AB + 2.

Подставляем значения и решаем уравнение: AC = (-(-3AB) ± √((-3AB)^2 - 4 * 2 * (-4AB + 2))) / (2 * 2).

После упрощения получаем AC = (3AB ± √(9AB^2 + 32AB - 16)) / 4.

Теперь нам нужно найти периметр треугольника. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. В нашем случае периметр треугольника ABC будет равен AB + AC + BC.

Подставляем значения: AB + AC + BC = AB + (3AB ± √(9AB^2 + 32AB - 16)) / 4 + (AB + 1).

Упрощаем выражение: AB + (3AB ± √(9AB^2 + 32AB - 16)) / 4 + AB + 1.

Складываем все слагаемые: 2AB + (3AB ± √(9AB^2 + 32AB - 16)) / 4 + 1.

Упрощаем полученное выражение и приводим его к наименьшему общему знаменателю: (8AB + 3AB ± √(9AB^2 + 32AB - 16) + 4) / 4.

Получается, что периметр треугольника ABC равен (8AB + 3AB ± √(9AB^2 + 32AB - 16) + 4) / 4.

Надеюсь, ответ был понятен. Если возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, обращайтесь!