Дан шестиугольник а1а2а3а4а5а6. его стороны а1а2 и а4а5, а2а3 и а5а6, а3а4 и а6а1, попарно равны и параллельны. используя центральную симметрию, покажите, что диагонали а1а4, а2а5, а3а6 данного шестиугольника пересекаются в
одной точке.

Легко показать (я не знаю, центральная это симметрия или нет), что треугольники, образованные парными боковыми сторонами и парой из указанных диагоналей, равны (по стороне и 2 углам при ней, как внутренним накрест лежащимпри параллельных). Например, треугольник А1А2О = треугольник А4А5О, где О - точка пересечения А1А4 и А2А5. Это означает, что обе эти диагонали в точке их пересечения делятся пополам. И эта пара сторон и пара диагоналей центрально симметрична относительно О. Рассматривая другую пару сторон, видим, что и они делятся точкой пересечения пополам, то есть эта точка совпадает с О. Поэтому у фигуры есть центр симметрии, и все диагонали, соединяющие центрально симметричные вершины (А1 и А4, А2 и А5, А4 и А6), обязательно проходят через центр симметрии и делятся им пополам.  

Я не уверен, что это то, что вам надо, но по существу это именно то.