Дан равнобедренный треугольник. известно высота 5 cм и основание 10 см. найти радиус вписанной и описанной окружности.

Найдем сторону

 a= V100-25=V75=5V3

2a=10V3

r=5 V10V3-10/V10V3+10=5V(V3-1)(V3+1)

R=a^2/V4a^2-b^2=45/V4*45-100=45/V80=45/V16*5=45/4V5

в равнобедренном треугольнике, высота проведённая к основанию, является медианой, поэтому основание делится на 2 равных отрезка по 5 см. По теореме Пифагора найдём боковую сторону

корень из 5^2+5^2= корень из25+25= корень из25*2=5 корень из2

найдём площадь треугольника, она равна половине произведения основания и высоты, поэтому S=1/2*a*h=1/2*10*5=5*5=25см^2

эту же площадь можно вычислить по другому

S=abc/4R,  отсюда

R=abc/4S=10*5 корень из2*5 корень из2/4*25=10*25*2/100=5

эту же площадь можно вычислить как половина произведения периметра на радиус вписанной окружности S=1/2*P*r, r=2*S/P 

 P=10+2*5 корень из2=10+10 корень из2=10(1+ корень из 2)

r=2*25/10(1+ корень из 2)=5/(1+ корень из 2)=5*(1- корень из 2)/(1+ корень из 2)(1- корень из 2)=5( корень из 2-1)