Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Какой плоскости принадлежит диагональ A1C1 и вершина B? Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда этой плоскостью.
б) Постройте прямую пересечения плоскостей CAA1 и D1AC. Как она расположена относительно грани A1B1C1D1?Относительно ребра A1A?
в) Вычислите длину ребра CB и координаты M∈AB, CM=BM, если C6;1;-4, B-8;-5;2.

Добрый день! Рассмотрим поставленные вопросы по порядку.

а) Диагональ A1C1 параллелепипеда принадлежит плоскости, проходящей через вершину B и ортогональна грани A1B1C1D1. Давайте пошагово построим это сечение:
1. Найдем координаты вершины A1: у нас нет информации о ее координатах, поэтому предлагаю принять, что A1 имеет координаты (x, y, z).
2. Согласно условию, прямые AC1 и A1C1 являются диагоналями прямоугольного параллелепипеда. Так как они пересекаются в точке M, то сделаем вывод, что координаты точки M будут равны среднему арифметическому координат точек A и C1, то есть M((x + 6)/2, (y + 1)/2, (z - 4)/2).
3. Теперь проведем прямую BM, которая пересечет плоскость A1C1 в точке P. Эта прямая BM будет параллельна вектору CM, и значит координаты точки P будут равны координатам точки M, то есть P((x + 6)/2, (y + 1)/2, (z - 4)/2).
4. Теперь нам известны координаты точек B и P, по которым мы можем составить уравнение прямой BP. Уравнение прямой в пространстве можно представить векторным видом, где x, y и z - независимые переменные:
x = 2((x + 6)/2) - 8
y = 2((y + 1)/2) - 5
z = 2((z - 4)/2) + 2
5. Обратите внимание, что в уравнениях координаты точек A и C1 не использовались, так как эти точки не заданы в условии. Итак, получаем уравнение прямой BP:
x = x - 10
y = y - 3
z = z + 2
Или в векторном виде BP: r = (x - 10)i + (y - 3)j + (z + 2)k.

б) Для нахождения прямой пересечения плоскостей CAA1 и D1AC найдем векторное произведение нормальных векторов этих плоскостей. Затем найдем точку пересечения прямой и плоскости CAA1. И, наконец, определим положение этой прямой относительно грани A1B1C1D1 и ребра A1A. Пошагово выполним эти действия:
1. Найти нормальные векторы двух плоскостей.
a) Плоскость CAA1: два точки на этой плоскости - C(6, 1, -4) и A(x, y, z), третья точка совпадает с точкой A1(x, y, z). Нормальный вектор находится путем нахождения векторного произведения двух векторов, лежащих в плоскости:
n1 = AC x A1C = (x - 6, y - 1, z + 4) x (x - 6, y - 1, z) = (x - 6)(z + 4)i + (z + 4)(y - 1)j + (y - 1)(x - 6)k

b) Плоскость D1AC: два точки на этой плоскости - D1(x, y, z) и C(6, 1, -4), третья точка совпадает с точкой A(x, y, z). Нормальный вектор находится путем нахождения векторного произведения двух векторов, лежащих в плоскости:
n2 = D1C x A1C = (x + 8, y + 5, z - 2) x (x - 6, y - 1, z) = (y + 5)(z)i + (z - 2)(x + 8)j + (x - 6)(y + 5)k

2. Теперь найдем точку пересечения прямой с плоскостью CAA1. Для этого составим систему уравнений, в которой точка прямой лежит на этой плоскости и соответствует уравнению плоскости:
(x - 6)(z + 4) + (z + 4)(y - 1) + (y - 1)(x - 6) = 0

3. Определим положение прямой относительно грани A1B1C1D1 и ребра A1A.
a) Относительно грани A1B1C1D1: если прямая пересекает грань A1B1C1D1, то она лежит в этой грани. Если прямая не пересекает грань, то она находится вне грани. Для этого проверим, лежит ли точка пересечения прямой B1P с гранью A1B1C1D1. Для проверки выберем точку на грани, например, точку A1.
Заметим, что точка P координаты вида (x, y, z), где x, y, z - независимые переменные. Если мы подставим координаты точки A1 в уравнение прямой, получим:
(x - 10)i + (y - 3)j + (z + 2)k = A1(-8, -5, 2)
x - 10 = -8, y - 3 = -5, z + 2 = 2
На этом этапе мы получаем равенства, и вследствие этого, прямая B1P пересекает грань A1B1C1D1.
Если мы получим ложные равенства, прямая B1P находится вне грани A1B1C1D1.

б) Относительно ребра A1A:
Рассмотрим точку пересечения P, которая находится на прямой B1P.
Если точка P лежит на ребре A1A, то она должна удовлетворять условию, что среднее арифметическое координат точек A1 и A равно координатам точки P.
M((x + 6)/2, (y + 1)/2, (z - 4)/2) = A1(-8, -5, 2)
(x + 6)/2 = -8, (y + 1)/2 = -5, (z - 4)/2 = 2
Решая эти уравнения, получим:
x = -20, y = -11, z = 10
Таким образом, точка P не лежит на ребре A1A.

в) Для вычисления длины ребра CB используем формулу длины отрезка в трехмерном пространстве:
Длина ребра CB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
Зная координаты точек C(6, 1, -4) и B(-8, -5, 2), мы можем подставить их в формулу и получить длину ребра CB.

Чтобы вычислить координаты точки M∈AB, при условии, что CM = BM, можно воспользоваться формулами для средней точки отрезка (середина отрезка):
xM = (xA + xB) / 2, yM = (yA + yB) / 2, zM = (zA + zB) / 2
Зная координаты точек A(-8, -5, 2) и B(-8, -5, 2), мы можем подставить их в формулы и найти координаты точки M∈AB.

Надеюсь, мой ответ был понятным и обстоятельным. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Всегда готов помочь!