Дан прямоугольный треугольник ABC, угол C =900. Укажите верные утверждения. 1) Квадрат любого катета треугольника равен разности квадратов его гипотенузы и второго катета.
2) Квадрат любого катета треугольника равен сумме квадратов его гипотенузы и второго катета.
3) Радиус окружности, описанной около треугольника, равен половине его гипотенузы.
4) Радиус вписанной в треугольник окружности равен половине его гипотенузы.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов

Привет! Конечно, я готов выступить в роли школьного учителя и объяснить этот вопрос.

Дано, что треугольник ABC - прямоугольный треугольник, где угол C = 90°.

Утверждения:

1) Квадрат любого катета треугольника равен разности квадратов его гипотенузы и второго катета.

Чтобы проверить данное утверждение, воспользуемся известной формулой Пифагора:
В прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и катетами a и b справедливо соотношение a² + b² = c². Если возведем это равенство в квадрат, получим (a² + b²)² = c⁴.

Теперь воспользуемся информацией из утверждения. Разность квадратов гипотенузы и второго катета равна (c² - b²), а квадрат катета равен a².

Таким образом, утверждение 1 ложное, потому что (a² ≠ (c² - b²)).

2) Квадрат любого катета треугольника равен сумме квадратов его гипотенузы и второго катета.

По-прежнему используем формулу Пифагора: a² + b² = c². Воспользуемся этим равенством еще раз, возводя его в квадрат: (a² + b²)² = c⁴.

Утверждение 2 тоже является ложным, потому что (a² ≠ (c² + b²)).

3) Радиус окружности, описанной около треугольника, равен половине его гипотенузы.

Это утверждение не совсем очевидно, поэтому докажем его.

Для доказательства рассмотрим правильный треугольник ABC (где угол C = 90°). Радиус окружности, описанной около треугольника, равен половине его диагонали. Найдем диагональ:

По теореме Пифагора имеем: AB² = BC² + AC². Так как угол C = 90°, то AB - это гипотенуза треугольника, а BC и AC - два катета. Тогда AB² = (BC² + AC²).

Заметим, что гипотенуза ABC и гипотенуза прямоугольного треугольника ABC равны, поскольку они находятся на одной окружности. То есть, AB = c.

Поэтому имеем c² = (BC² + AC²).

Теперь найдем диагональ треугольника ABC, разделив обе части равенства на 2:

(c²/2) = [(BC² + AC²)/2].

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника, равен половине его гипотенузы. Утверждение 3 верное.

4) Радиус вписанной в треугольник окружности равен половине его гипотенузы.

Аналогично докажем это утверждение.

Пусть точка D - это центр вписанной окружности в треугольник ABC, а E, F - точки касания окружности с сторонами треугольника. Для доказательства нужно использовать свойства вписанной окружности и формулы площади треугольника.

Из формулы площади треугольника можем запишем: S = p*r, где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника (p = (a+b+c)/2), r - радиус вписанной окружности.

Также из свойств вписанной окружности имеем: S = (p*a)/2 + (p*b)/2 + (p*c)/2, где a, b, c - стороны треугольника ABC.

Сравнивая эти два равенства, получаем: p*r = (p*a)/2 + (p*b)/2 + (p*c)/2.

Делим обе части уравнения на p и получаем: r = (a/2) + (b/2) + (c/2).

Так как a и b - катеты треугольника, а c - гипотенуза, то (a/2) + (b/2) + (c/2) = c/2.

Таким образом, радиус вписанной в треугольник окружности равен половине его гипотенузы. Утверждение 4 верно.

Вывод:
Верные утверждения: 3 и 4.
Таким образом, для ответа нужно запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов: 34.