Дан правильный тетраэдр efgs, у которого ef = = 12. точки l и n лежат на ребрах sg и se соответственно, причем sl = 3, sn = 3. точка т — середина ребра sf. найдите: а) точку yx пересечения прямой tl и плоскости efg; б) точку у2 пересечения прямой tn и плоскости efg; в) длину отрезка yxy2; г) точку пересечения прямой tn и плоскости elf; д) прямую пересечения плоскостей lyxy2 и nfe; е) отношение, в котором плоскость lyxy2 делит отрезок se, считая от точки s.

Объяснение:

Дан правильный тетраэдр EPGS, у которого EF = 12.

Точки L и N лежат на ребрах SG и SE соответственно, причем SL = 3, SN = 3. Точка Т - середина ребра SF.

Найдите:

а) точку Y1 пересечения прямой TL и плоскости EFG;

б) точку Y2 пересечения прямой TN и плоскости EFG;

в) длину отрезка Y1Y2;

г) точку пересечения прямой TN и плоскости ELF;

д) прямую пересечения плоскостей LY1Y2 и NFE;

е) отношение, в котором плоскость LY1Y2 делит отрезок SE, считая от точки S.

Определение: Тетраэдр называется правильным, если все его грани - равносторонние треугольники.

а) точка Y1 должна лежать на линии  пересечения плоскостей GSF и EFG, так как прямая TL лежит в плоскости GSF. Для ее нахождения продлим прямую TL за точку Т до пересечения с продолжением прямой GE (линии пересечения плоскостей GSF и EFG.

б) точка Y2 должна лежать на линии  пересечения плоскостей ЕSF и EFG, так как прямая TN лежит в плоскости ESF. Для ее нахождения продлим прямую TN за точку Т до пересечения с продолжением прямой EF (линии пересечения плоскостей ESF и EFG.

в)  Проведем в грани GSF прямую LH параллельно ребру SF.  Треугольник GLH подобен треугольнику GSF, следовательно он правильный и LH = GL = 9 ед. Треугольники LHY1 и TFY1 также подобны с коэффициентом подобия k = TF/LH = 6/9 = 2/3. Тогда FY1/HY1 = 2/3 => FY1/(FY1+HF) = 2/3.  HF = 3 (HF=SL, так как LH║SF)  =>  FY1 = 6 ед.

Аналогично и для грани ESF => FY2 = 6 ед.

Треугольник Y1FY2 равнобедренный с углом при вершине F равным 60° (он вертикальный с углом EFG правильного треугольника EFG). Следовательно, это правильный треугольник и его сторона

Y1Y2 = Y1F = Y2F = 6 ед.

г) точка пересечения прямой TN и плоскости ELF - это точка Y2, так как плоскости ELF и ESF пересекаются по прямой EF, следовательно, прямая TN, лежащая в плоскости ESF, пересечет плоскость ELF в точке Y2 на линии пересечения этих плоскостей.

д) прямая пересечения плоскостей LY1Y2 и NFE - это прямая TY2 (NY2), так как точки Т и Y2 принадлежaт плоскости NFE (SEF) и плоскости LY1Y2.

е) точка N принадлежит плоскости LY1Y2, так как эта плоскость определяется как единственная пересекающимися прямыми LY1 и NY2.  SN = 3, а SE = 12(дано), значит NE = 12 -3 =9). Следовательно, плоскость LY1Y2 делит отрезок SE в отношении SN/NE = 1:3, считая от точки S.

P.S. Пункт в) можно решить по теореме Менелая.

Для треугольника GSF и секущей LY1 имеем:

(GL/LS)*(ST/TF)*(FY1/Y1G) = 1. Подставим известные значения:

(9/3)*(6/6)*(FY1/Y1G) = 1  => FY1/Y1G = 1/3. Или

FY1/(12+FY1) = 1/3. => FY1 = 6 ед.

Аналогично для треугольника ESF и секущей NY2 получаем

FY2 = 6 ед.