дан куб abcda1b1c1d1 с ребром 2. а) докажите, что прямая a1c1 перпендикулярна плоскости bdd1. б) докажите, что плоскость a1c1d перпендикулярна прямой bd1. в) через точку k — середину c1d1 — проведите прямую, перпендикулярную плоскости a1c1d. г) найдите длину отрезка проведенной прямой, расположенного внутри куба. д) в каком отношении, считая от точки k, плоскость a1c1d делит этот отрезок?

а) Для доказательства, что прямая a1c1 перпендикулярна плоскости bdd1, мы можем воспользоваться свойством ортогональности векторов.

Пусть O – центр куба abcda1b1c1d1. Очевидно, что прямая a1c1 проходит через середину ребра bb1 и перпендикулярна ему.

Так как ребро bb1 параллельно плоскости bdd1, мы можем выбрать два любых вектора, лежащих в этой плоскости, например, векторы bd и dd1.

Тогда, через точки a1 и c1 мы можем построить вектор, направленный вдоль прямой a1c1, пусть это будет вектор a1c1.

Теперь нам нужно убедиться, что вектор a1c1 ортогонален обоим векторам bd и dd1.

Рассмотрим скалярное произведение векторов bd и a1c1:

bd * a1c1 = (bd_x * a1c1_x) + (bd_y * a1c1_y) + (bd_z * a1c1_z)

Так как вектор a1c1 параллелен ребру bb1, то a1c1_x = 0, a1c1_y = 2, a1c1_z = 0.

Тогда скалярное произведение будет равно:

bd * a1c1 = (bd_x * 0) + (bd_y * 2) + (bd_z * 0) = 2 * bd_y

Так как ребро bb1 параллельно оси Oy, значит bd_y = 0. Тогда bd * a1c1 = 2 * 0 = 0.

То же самое рассуждение можно провести для вектора dd1 и убедиться, что dd1 * a1c1 = 0.

Таким образом, скалярное произведение векторов bd и a1c1 равно нулю, что означает, что эти векторы ортогональны.

Поэтому прямая a1c1 перпендикулярна плоскости bdd1.

б) Для доказательства, что плоскость a1c1d перпендикулярна прямой bd1, мы также можем воспользоваться свойством ортогональности векторов.

Пусть D – середина ребра dd1. Очевидно, что прямая bd1 проходит через точку D и является ее хордой.

Так как ребро dd1 параллельно плоскости a1c1d, мы можем выбрать два любых вектора, лежащих в этой плоскости, например, векторы a1d и a1c1.

Тогда, через точку b мы можем провести вектор, направленный вдоль прямой bd1, пусть это будет вектор bd1.

Теперь нам нужно убедиться, что вектор bd1 ортогонален обоим векторам a1d и a1c1.

Рассмотрим скалярное произведение векторов a1d и bd1:

a1d * bd1 = (a1d_x * bd1_x) + (a1d_y * bd1_y) + (a1d_z * bd1_z)

Так как вектор bd1 параллелен ребру dd1, то bd1_x = 0, bd1_y = 0, bd1_z = 2.

Тогда скалярное произведение будет равно:

a1d * bd1 = (a1d_x * 0) + (a1d_y * 0) + (a1d_z * 2) = 2 * a1d_z

Так как ребро dd1 параллельно оси Oz и проходит через точку D, то a1d_z = 1.

Тогда a1d * bd1 = 2 * 1 = 2.

То же самое рассуждение можно провести для вектора a1c1 и убедиться, что a1c1 * bd1 = 0.

Таким образом, скалярное произведение векторов a1d и bd1 не равно нулю, а скалярное произведение векторов a1c1 и bd1 равно нулю.

Поэтому прямая bd1 перпендикулярна плоскости a1c1d.

в) Чтобы провести прямую, перпендикулярную плоскости a1c1d через точку K – середину c1d1, мы можем воспользоваться свойством перпендикулярности векторов.

Пусть M – середина ребра c1d1. Очевидно, что прямая KM будет перпендикулярна плоскости a1c1d и будет проходить через точку K.

Тогда мы можем взять два вектора, лежащих в плоскости a1c1d и направленных вдоль прямой KM, например, векторы a1K и c1K.

Теперь нам нужно убедиться, что эти векторы перпендикулярны друг к другу.

Рассмотрим скалярное произведение векторов a1K и c1K:

a1K * c1K = (a1K_x * c1K_x) + (a1K_y * c1K_y) + (a1K_z * c1K_z)

Так как вектор KM параллелен оси Oz и проходит через точку K, то a1K_x = 0, a1K_y = 0, a1K_z = 1.

Также коммутативность скалярного произведения позволяет нам записать:

a1K * c1K = c1K * a1K

Так как мы видим, что каждая компонента в одном векторе равна нулю, то и скалярное произведение, очевидно, будет равно нулю:

a1K * c1K = (0 * c1K_x) + (0 * c1K_y) + (1 * c1K_z) = c1K_z

То есть скалярное произведение равно компоненте вектора c1K, которая отвечает за направление вдоль оси Oz.

Таким образом, скалярное произведение векторов a1K и c1K равно нулю, что означает, что эти векторы перпендикулярны.

Поэтому прямая KM перпендикулярна плоскости a1c1d.

г) Для нахождения длины отрезка проведенной прямой, расположенного внутри куба, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора.

Пусть N – середина ребра a1K, L – середина ребра c1K и P – середина ребра a1L. Очевидно, что прямая NKPL будет проходить через точку K и будет перпендикулярна плоскости a1c1d.

Так как прямая NKPL является диагональю грани a1c1d1, то ее длину можно выразить через длины ребер куба:

NKPL = a1N + NP + PK + KL

Так как N – середина ребра a1K, то a1N = 1 (половина длины ребра a1K).

Также, так как P – середина ребра a1L, а L – середина ребра c1K, то NP = PL = 1 (половина длины ребра a1L) и PK = KL = 1 (половина длины ребра c1K).

Тогда длина отрезка NKPL будет равна:

NKPL = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

Таким образом, длина отрезка проведенной прямой, расположенного внутри куба, равна 4.

д) Чтобы найти отношение, с которым плоскость a1c1d делит этот отрезок, мы можем применить формулу точки пересечения прямой и плоскости в пространстве.

Пусть M – точка пересечения прямой a1c1d с плоскостью a1c1d, которая разделяет отрезок NKPL на две части.

Тогда, чтобы найти отношение, считая от точки K, мы можем использовать формулу:

MK / KL = MK / 1 = NK / KL

Как мы уже вычислили, NK = 4 и KL = 1. Подставляя эти значения, получаем:

MK / 1 = 4 / 1

MK = 4

Таким образом, отношение, считая от точки K, плоскость a1c1d делит этот отрезок, равно 4:1.