Дан куб ABCDA1B1C1D1 ребро которого равно 1 дм (рисунки 147, а, б). Найдите расстояние: 1) от точки А1 до плоскости: а) грани ВСС1В1
б) BCD; в) B1C1D; 2) между прямыми DD1 и г) А1В1; д) А1С.
Решите г и д)

Добрый день! Рассмотрим по очереди все вопросы и найдем расстояния.

1) Расстояние от точки A1 до грани ВСС1В1:

Для начала, построим прямую, проходящую через точку A1 и параллельную грани ВСС1В1. Обозначим эту прямую как l. Так как точка A1 лежит на стороне А1В1 куба ABCDA1B1C1D1, то вектор l будем параллелен вектору A1В1.

Зная, что длина ребра куба равна 1 дм, мы можем найти вектор A1В1, используя пропорцию длин ребер куба и его диагоналей:
A1В1 = √(A1B1^2 + B1В1^2) = √(1^2 + 1^2) = √2 дм.

Теперь найдем расстояние от точки A1 до плоскости ВСС1В1. Обозначим это расстояние как h.

Используя формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости, расстояние h равно:
h = |А1В1| / √(a^2 + b^2 + c^2),

где a, b, c - коэффициенты плоскости ВСС1В1 (они нас интересуют в данной задаче).

Построим плоскость BCС1В1. Она является гранью ВСС1В1 и проходит через точку В, поэтому мы можем определить ее коэффициенты плоскости (a, b, c).

Уравнение плоскости имеет вид: ax + by + cz + d = 0.

Так как плоскость проходит через точку В (1,1,0), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставим значения координат В в уравнение плоскости:
a*1 + b*1 + c*0 + d = 0,
a + b + d = 0.

Также мы знаем, что плоскость BCС1В1 является параллельной вектору A1В1, поэтому коэффициенты плоскости BCС1В1 (a, b, c) должны быть пропорциональны координатам вектора A1В1. Таким образом, можем записать соотношение a:b:c = 1:1:0.

Окончательно, уравнение плоскости BCС1В1 имеет вид:
a + b + c = 0.
Подставляем соотношение a:b:c = 1:1:0:
1 + 1 + c = 0,
c = -2.

Теперь можем найти расстояние h:
h = |A1В1| / √(a^2 + b^2 + c^2) = √2 / √(1^2 + 1^2 + (-2)^2) = √2 / √6.

Таким образом, расстояние от точки A1 до плоскости ВСС1В1 равно √2 / √6 дм (или можно дополнительно упростить корень в знаменателе умножением на √2).

По аналогии, мы можем найти расстояние от точки A1 до плоскостей BCD, B1C1D и других указанных граней. При необходимости могу продолжить решение.

2) Теперь рассмотрим решение для вопросов г и д.

г) Расстояние между прямыми DD1 и А1В1:

Прямые DD1 и А1В1 параллельны, так как они лежат в параллельных плоскостях.

Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию между точками, лежащими на них. То есть, нам нужно найти расстояние между точками D и D1.

Для этого используем расстояние между точками формулу:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),

где (x1, y1, z1) - координаты точки D, а (x2, y2, z2) - координаты точки D1.

Из рисунка видно, что координаты точки D равны (0, 1, 0), а координаты точки D1 равны (0, 1, -1).

Подставляем значения в формулу и находим расстояние d:
d = √((0 - 0)^2 + (1 - 1)^2 + (0 - (-1))^2) = √2.

Таким образом, расстояние между прямыми DD1 и А1В1 равно √2 дм.

д) Расстояние между прямыми DD1 и А1С:

Аналогично предыдущему решению, прямые DD1 и А1С параллельны, так как они лежат в параллельных плоскостях.

Для нахождения расстояния между этими прямыми также используем формулу для расстояния между точками и находим расстояние между точками D и А1.

Из рисунка видно, что координаты точки D равны (0, 1, 0), а координаты точки А1 равны (1, 1, 1).

Подставляем значения в формулу и находим расстояние d:
d = √((0 - 1)^2 + (1 - 1)^2 + (0 - 1)^2) = √3.

Таким образом, расстояние между прямыми DD1 и А1С равно √3 дм.

Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я готов помочь!