Дан четырёхугольник АВСD, в котором АВ=АD, BC=CD. На его диагонали АС взяли произвольную точку К. Докажите, что: а) ВК=DC
б) угол BKC = угол DKC

Для доказательства обоих утверждений a) ВК=DC и б) угол BKC = угол DKC, мы можем использовать следующие сведения и свойства геометрии.

1. Дано, что АВ=АD и BC=CD (дано AВ=АD - это следует из равности сторон в четырёхугольнике АВСD, а BC=CD - это следует из равности сторон в четырёхугольнике ABCD).

2. В доказательстве мы также используем тот факт, что в треугольнике, если две стороны равны, то их противолежащие углы также равны. Это называется теоремой "косинусов" и формально записывается как:

a) Если AB=AC, то угол BAC = угол BCA
б) Если AD=AC, то угол DAC = угол DCA

Теперь приступим к доказательству каждого утверждения:

a) Докажем, что ВК=DC.

Рассмотрим треугольник ВКC и треугольник DСK. Мы знаем, что ВК=DK (по построению), КС=СК (по свойству равных сторон четырёхугольника ABCD) и углы ВКС и КСD являются противолежащими углами (по теореме "косинусов").

Следовательно, треугольники ВКC и DСK равны по стороне-стороне-стороне, и поэтому ВС=DK (по соответствующей части равенства треугольников).

Но ВС=DC (по свойству равных сторон четырёхугольника ABCD).

Значит, ВК=DK=DC, что и требовалось доказать.

б) Докажем, что угол BKC = угол DKC.

Рассмотрим треугольник ВКС и треугольник DКС. Мы знаем, что ВК=DK (по доказанному выше), КС=КС (по свойству равных сторон четырёхугольника ABCD) и угол ВКС и угол ДКС являются противолежащими углами (по теореме "косинусов").

Следовательно, треугольники ВКС и DКС равны по стороне-стороне-стороне, и поэтому угол BKC = угол DKC (по соответствующей части равенства треугольников).

Значит, угол BKC = угол DKC, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали оба утверждения a) ВК=DC и б) угол BKC = угол DKC, используя свойства и теоремы геометрии.