Cрочно. 10 класс
дан треугольник abc, p ϵ ac, q ϵ bc, ca : pc = cb : qc = 7 : 5. через прямую ab проходит плоскость α, не с плоскостью треугольника abc.
1) докажите, что pq ii α.
2) найдите длину отрезка ab, если pq = 4 см.

Здравствуйте!

1) Для доказательства, что отрезок PQ параллелен плоскости α, нужно использовать свойство параллельности прямой и плоскости.

По условию задачи, отрезок PQ образован продолжением сторон треугольника ABC и пересекает его прямоугольно (P принадлежит АС, Q принадлежит ВС).

Для начала обратимся к свойству, гласящему, что прямая, пересекающая плоскость треугольника через точку треугольника, будет параллельна одной из сторон треугольника. В данном случае это сторона AB, так как прямая PQ проходит через точку A и точку B.

Далее, воспользуемся свойством, которое говорит, что если отношение долей, на которые отрезок разделяет сторону треугольника, равно отношению долей, на которые эту сторону разделяет другая секущая, то эти секущая и отрезок параллельны (или пропорциональны).

В данном случае, по условию задачи, отношение долей, на которые отрезок PC разделяет сторону AC треугольника ABC, равно отношению долей, на которые сторону CB разделяет отрезок QC: PC : CB = 7 : 5.

Таким образом, мы получили два пропорциональных отношения: PC : CB = PQ : CQ = 7 : 5.

Исходя из этого, мы можем заключить, что отрезок PQ параллелен стороне AB, так как PQ и сторона CB делят сторону AC в одних и тех же пропорциях (7 : 5). Следовательно, PQ || AB.

Таким образом, мы доказали, что отрезок PQ параллелен плоскости α.

2) Для нахождения длины отрезка AB, если PQ = 4 см, необходимо воспользоваться схожими треугольниками.

Так как будем использовать подобные треугольники, нужно обратить внимание на соотношение длин сторон в подобных треугольниках. Обозначим длину отрезка AB как x см.

Используем свойство, которое говорит, что если два треугольника подобны, то соотношение длин соответствующих сторон этих треугольников равно соотношению длин их соответствующих сторон.

В нашем случае, треугольники PAC и QCB подобны, так как у них по двум углам равны и одному углу равны прямому значению. Таким образом, мы имеем соотношение между длинами сторон:

PA : QA = AC : BC = 7 : 5.

Известно, что отрезок PQ равен 4 см. Поэтому, мы можем записать соотношение длин сторон в виде:

PA : QA = 4 + x : 4 = AC : BC.

Подставим соответствующие значения:

4 + x : 4 = 7 : 5.

Для нахождения длины отрезка AB, решим эту пропорцию:

(4 + x) * 5 = 4 * 7.

Упростим уравнение:

20 + 5x = 28.

Вычтем 20:

5x = 8.

Разделим на 5:

x = 8 / 5.

Таким образом, получаем, что длина отрезка AB равна 8/5 см или 1,6 см.

Итак, мы доказали, что отрезок PQ параллелен плоскости α и нашли длину отрезка AB.