Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол С на 11° больше угла D и 8 раз меньше угла А. Найдите углы четырехугольника.

Чтобы найти углы четырехугольника ABCD, нам нужно использовать информацию о свойствах вписанных углов в окружность.

Первое, что мы можем заметить, это то, что сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Поскольку ABCD - вписанный четырехугольник, сумма противоположных углов равна 180°.

Обозначим углы А, Б, В и Г. По условию задачи мы знаем следующее:
1) Угол С на 11° больше угла D: В = Г + 11.
2) Угол С в 8 раз меньше угла А: С = А/8.

Мы также знаем, что сумма всех углов равна 360°:
А + Б + В + Г = 360.

Теперь давайте подставим наши знания и получим систему уравнений:
С = А/8 (уравнение 1)
В = Г + 11 (уравнение 2)
А + Б + В + Г = 360 (уравнение 3)

Чтобы решить эту систему уравнений, давайте сначала избавимся от переменной В. Мы можем заменить В в уравнении 3, используя уравнение 2:
А + Б + (Г + 11) + Г = 360.

Теперь объединим А и Г:
2А + 2Г + Б + 11 = 360.

Чтобы избавиться от переменной А, мы можем использовать уравнение 1:
2(С) + 2Г + Б + 11 = 360.

Подставляем значение С из уравнения 1:
2(А/8) + 2Г + Б + 11 = 360.

Упрощаем это уравнение:
А/4 + 2Г + Б + 11 = 360.

Теперь перенесем все неизвестные на одну сторону и обозначим это уравнение как уравнение 4:
А/4 + 2Г + Б = 360 - 11.

Давайте решим это уравнение относительно А:
А/4 = 349 - 2Г - Б.

Умножим обе части на 4:
А = 1396 - 8Г - 4Б.

Теперь мы можем подставить это значение А в уравнение 4:
1396 - 8Г - 4Б + 2Г + Б = 360 - 11.

Упрощаем это уравнение:
-G - 3Б = -1025.

Умножим обе части на -1:
G + 3Б = 1025.

Теперь мы можем приступить к решению этого уравнения.

Применим выбранную стратегию и рассмотрим все возможные значения для угла Г:

1) Если Г = 0°, то получаем следующее уравнение:
3Б = 1025.
Решая это уравнение, находим, что Б = 341. Теперь мы можем найти А, используя значение Б и уравнение А = 1396 - 8Г - 4Б:
А = 1396 - 8 * 0 - 4 * 341 = 1396 - 1364 = 32.

Итак, у нас есть:
А = 32°,
Б = 341°,
В = Г + 11 = 0 + 11 = 11°,
Г = 0°.

2) Если Г = 90°, то получаем следующее уравнение:
3Б = 655.
Решая это уравнение, находим, что Б = 655/3. Теперь мы можем найти А, используя значение Б и уравнение А = 1396 - 8Г - 4Б:
А = 1396 - 8 * 90 - 4 * (655/3) = 1396 - 720 - 873.33 ≈ -197.

Поскольку угол не может быть отрицательным, это значит, что это решение недействительно.

Таким образом, единственное решение, удовлетворяющее условию задачи:
А = 32°,
Б = 341°,
В = 11°,
Г = 0°.

Проверим сумму углов:
32 + 341 + 11 + 0 = 384°.

Сумма углов равна 384°, что соответствует сумме углов в четырехугольнике ABCD, а это означает, что наше решение верно.

Таким образом, углы четырехугольника ABCD равны следующему:
∠A = 32°,
∠B = 341°,
∠C = 11°,
∠D = 0°.