Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O докажите что сумма площадей треугольников AOB и COD равна половине площади четырехугольника

Для решения данной задачи, воспользуемся свойством описанного четырехугольника. Описание четырехугольника означает, что все его вершины лежат на окружности.

Для начала, нам потребуется некоторая дополнительная информация. Поскольку четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O, то диагонали AC и BD его пересекают в точке O. Кроме того, по свойству описанного четырехугольника, углы между диагоналями и сторонами четырехугольника ACB и ADB равны. Обозначим эти углы через α.

Теперь рассмотрим треугольники AOB и COD. Возьмем площади этих треугольников и покажем, что их сумма равна половине площади четырехугольника ABCD:

S(AOB) + S(COD) = (1/2) * AO * OB * sin(α) + (1/2) * CO * OD * sin(α) (1)

Поскольку углы α в треугольниках AOB и COD равны, то sin(α) в обоих треугольниках будет равен sin(α).

S(AOB) + S(COD) = (1/2) * (AO * OB + CO * OD) * sin(α) (2)

Теперь рассмотрим площадь четырехугольника ABCD. Площадь такого четырехугольника можно найти как сумму площадей треугольников AOB и COD, а также площадей треугольников AOC и BOD, так как эти треугольники вместе составляют весь четырехугольник:

S(ABCD) = S(AOB) + S(COD) + S(AOC) + S(BOD) (3)

Поскольку четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O, углы AOC и BOD также равны α. Поэтому площади треугольников AOC и BOD можно выразить через стороны этих треугольников и sin(α):

S(AOC) = (1/2) * AO * OC * sin(α)
S(BOD) = (1/2) * BO * OD * sin(α)

Подставим эти выражения в формулу (3):

S(ABCD) = S(AOB) + S(COD) + (1/2) * AO * OC * sin(α) + (1/2) * BO * OD * sin(α)

Выразим сумму площадей треугольников AOB и COD через площадь четырехугольника ABCD:

S(ABCD) = S(AOB) + S(COD) + (1/2) * AO * OC * sin(α) + (1/2) * BO * OD * sin(α)
S(ABCD) = S(AOB) + S(COD) + S(AOB) + S(COD) (по свойству синуса)

То есть,

S(ABCD) = 2 * (S(AOB) + S(COD))

Следовательно, сумма площадей треугольников AOB и COD равна половине площади четырехугольника ABCD.