Через вершину конуса проведена плоскость под углом 45 к плоскости основания. эта плоскость пересекает основание по хорде, которая видна из центра основания под углом 60. найдите объем конуса, если расстояние от вершины конуса до хорды равно 6 см

V = 24√2·π.

Объяснение:

Сечение конуса данной плоскостью имеет вид равнобедренного треугольника АSВ, высота которого SН = 6 см (дано) наклонена под углом 45° к плоскости основания конуса (дано). => Прямоугольный треугольник SОН равнобедренный и SО = ОН. По Пифагору: SH² = 2·SO² или 36 = 2·SO² => SО = ОН = 3√2 см.  

По теореме о трех перпендикулярах ОН перпендикулярна АВ => АН=НВ по свойству перпендикуляра к хорде из центра окружности. Треугольник АВО равнобедренный и ОН - высота, медиана и биссектриса угла АОВ = 60° (дано) => ∠AОН = 30°. => АО = 2·АН. По Пифагору А0² = АH²+OН² или З·АH² = OН² => З·АН² = 18, АН = √6, АО = 2√6 см. АО = R (радиус основания конуса). Тогда объем конуса равен V = (1/3)·Sо•Н или  

V = (1/3)·π·24·3√2 = 24√2·π.