Через вершину b правильного шестиугольника abcdef проведена прямая, пересекающая прямую cf в точке k . известно, что эта прямая разбивает шестиугольник на части, площади которых относятся как 1: 8 . найдите отношение ck : kf .

S(ABF) : S(ABCDEF) = 1  :6  > 1: 8 ⇒ BK пересекает  сторону  AF .
 Пусть  M  точка пересечения    [BK]   и  [ AF]   ; M  ∈ [ AF ]  .
S₁  =S(ΔABM ) ,  S ₂=S(ABCDEF) - S₁ = S(ABCDEF) - S(ΔABM ).
Обозначаем AB = BC =CD = DE = EF =FF  =  a ;
⇒ CF = 2a ,  CF| |AB   ( свойство  правильного шестиугольника  ) .
AM = x⇒ M F = a - x ;
CK  : KF ---?

{ S₁ : S ₂ = 1: 8 ; S₁ + S ₂ = S  ( S _ площадь правильного шестиугольника ABCDEF) .
 S₁ = 1/9*S ;

1/2 *a* x *sin 120° = 1/9*(a²√3)/4 ;
1/2 *a* x *(√3)/2 = 1/9*6*(a²√3)/4     sin 120° =sin(180° - 60°) = sin60° =√3/2  ***;
x = 2/3a ⇒ M F = a - x =a -2/3a = 1/3a .
 ΔFKM   подобен ΔABM   (CF| |AB)  :
FK/AB =MF/MF;
FK/a = (1/3a)/(2/3a) ;
FK = a/2  ;
***  наконец   ***
CK / FK = (CF+FK)/FK =(2a+a/2)/(a/2) =5 :1 .
ответ :   CK / FK = 5.