Через точку a, лежащую на окружности, проведены касательная ab и хорда ac. на дуге ac, лежащей внутри угла bac, отмечена точка m так, что ◡am = ◡mc. расстояние от точки m до прямой ac равно 10 см. найдите расстояние от точки m до прямой ab.

Пусть расстояние от точки М до прямой АС - перпендикуляр МК=10, а расстояние от точки М до прямой АВ - перпендикуляр МН.
По свойству угла между касательной и хордой
<BAM равен половине дуги, заключенной между касательной АВ и хордой АМ.
<BAC равен половине дуги, заключенной между касательной АВ и хордой АС. Дуги АМ и МС равны (дано)
Значит АМ - биссектриса <BAC и прямоугольные треугольники НАМ и КАМ равны по острому углу и общей гипотенузе АМ. Из этого равенства катеты МН и МК равны.
ответ: искомое расстояние МН=10.

∠BAM =(дугаAM)/2  как угол между касательной BA и хордой BMж
∠CAM= (дугаMC)/2 (вписанный угол) , но по условию задачи
 (дугаAM)=(дугаMC) ,следовательно ∠BAM =∠CAM ,т.е. AM биссектриса ∠BAC .Каждая точка биссектрисы  ||здесь M∈[AM) ||  неразвернутого угла ||здесь ∠BAC || равноудалена от его сторон
||здесь AB  и AC )|| .

ответ:  d(M,AB) = d(M,AC )  =10 см.

* * *P.S.  понятно под "дуга.." - имели в виду не длина дуги,  а  градусную меру дуги .