Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 8 см и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды с РЕШЕНИЕМ ПОДРОБНЫМ И РИСУНКОМ

Хорошо, я разберу задачу шаг за шагом и предоставлю подробное решение с объяснением и рисунком.

Дано: боковое ребро пирамиды равно 8 см, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30°.

Нам необходимо найти площадь боковой поверхности пирамиды. Для этого нужно узнать длину бокового ребра пирамиды, а затем вычислить площадь боковой поверхности.

Шаг 1: Найдем длину бокового ребра пирамиды.

По теореме косинусов, длина бокового ребра можно найти с помощью следующей формулы:
a = √(c^2 - b^2),
где a - длина бокового ребра, c - длина гипотенузы треугольника, b - длина катета треугольника.

В нашей задаче, боковое ребро является катетом, поэтому применяя формулу теоремы косинусов, получаем:
a = √(c^2 - b^2) = √(8^2 - 4^2) = √(64 - 16) = √48 = 4√3 см.

Шаг 2: Поскольку у нас правильная треугольная пирамида, то боковая поверхность является правильным треугольником.

Шаг 3: Вычислим площадь треугольника по формуле:
S = (a * h) / 2,
где S - площадь треугольника, a - длина основания треугольника, h - высота треугольника.

Шаг 4: Определим высоту треугольника.

Высота треугольника - это катет, соединяющий угол треугольника с основанием, оно также является катетом прямоугольного треугольника. А так как угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 30°, значит у нас есть прямоугольный треугольник с катетом равным половине основания (половина основания равна половине длины бокового ребра) и углом в 30°.

Теперь можем использовать тангенс для вычисления высоты треугольника:
tg(30°) = h / (a/2),
1/√3 = h / (4√3 / 2),
1/√3 = h / (2√3),
h = 2 см.

Здесь мы использовали тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике, где противолежащий катет (h) и относительный катет (a/2) являются катетами прямоугольного треугольника, а тангенс угла равен отношению противолежащего катета к относительному.

Шаг 5: Подставим известные значения в формулу площади треугольника:
S = (a * h) / 2 = (4√3 * 2) / 2 = 4√3.

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна 4√3 квадратных сантиметра.