Боковое ребро BB1 усеченной пирамиды ABCA1B1C1 перпендикулярно плоскости основания, BB1 = 4 см, AB = BC = 16 см, A1B1 = B1C1 = 10 см, угол ABC = 120 градусов. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.​

(104+45√3)cм².

Объяснение:

Заметим, что основания - равнобедренные треугольники с углом при вершине, равном 120° и углами при основании, равными 30°. Тогда высоты оснований ВН и В1Н1 равны соответственно 8 см и 5 см, как катеты, лежащие против угла 30°.

По теореме косинусов в треугольнике АВС

АС = √(2·16² - 2·16²·Cos120°) = 16√3 см.

Аналогично в треугольнике А1В1С1 А1С1 = 10√3 см.

Боковые грани трапеции АА1В1В и СС1В1В - равные прямоугольные трапеции с основаниями - сторонами верхнего и нижнего оснований пирамиды и высотой - высотой пирамиды ВВ1.

Их площадь равна  S = (16+10)·4/2 = 52 cм² (площадь одной грани).

Боковая грань АА1С1С - трапеция с основаниями  

АС = 16√3 см и А1С1 = 10√3 см (найдено выше).

Высоту этой трапеции НН1 найдем из прямоугольного треугольника НН1Р, где Н1Р перпендикуляр к ВН и следовательно, Н1Р = В1В = 4 см, а второй катет РН = ВН - ВР = ВН - В1Н1 = 8 - 5 = 3 см.

Значит треугольник НН1Р - пифагоров и НН1 = 5 см. и его площадь равна Saa1c1c = (АC+А1C1)·НН1/2 = (26√3)·5/2 = 45√3cм².

Тогда площадь боковой поверхности данной пирамиды равна:

2·S + Saa1c1c = 104+45√3cм².