АВСD - прямоугольник, М - середина АВ, N - середина ВС, К - середина СD, P - середина AD. Доказать, что MNKP - ромб.

Доказательство:

1. Проведём диагональ АС.

Т.к. М - середина АВ и N - середина BC, то MN - средняя линия ΔАВС, тогда МN || АС, MN = 1/2 АС

2.Т.к. К - середина СD и Р - середина AD, то PK - средняя линия ΔАСD, тогда РК || АС, РК = 1/2 AC.

3.Т.к. MN || AC, PK || AC, MN = 1/2 AC= PK, то MN || PK и MN = PK, значит MNKP - параллелограмм.

4.Т.к. АВСD - прямоугольник, то угол А = углу В = углу С = углу D = 90° , PA = PD = NC = BN , MB = AM = CK = KD, значит ΔМАР = ΔMBN = ΔKCN = ΔKDP (по двум катетам).

Из равенства треугольников следует:

MN = NK = KP = PM, значит MNKP - ромб.