АВСА¹В¹С¹ - правильная треугольная при- зма, все ребра которой равны 9. Точки Р
и к — середины ребер BB и AC соответ-
ственно, М принадлежит CC¹ ,C¹M: CC= 1:3. Найдите
динну отрезка, по которому плоскость, про-
ходящая через точки K, M. P, пересекает
грань АА¹В¹В.
​

Для решения такой задачи, нам понадобится использование нескольких геометрических понятий и формул. Давайте постепенно разберемся с каждой частью задачи.

1. Вначале, давайте вспомним, что такое правильная треугольная призма. Правильная треугольная призма - это такая призма, у которой основание является правильным треугольником, а высота перпендикулярна к основанию.

2. Зафиксируемся на грани ABCA₁B₁C₁ призмы и означим точки следующим образом:
- Р - середина ребра BB₁;
- К - середина ребра AC;
- М - точка на ребре CC₁, причем отношение отрезка CM к отрезку CC₁ равно 1:3.

3. Определим координаты точек A, B, C для удобства последующего решения. Пусть A(0, 0, 0), B(9, 0, 0), C(4.5, 7.794, 0).

4. Так как АВСА₁В₁С₁ - правильная треугольная призма, то точки Р и К являются серединами соответствующих ребер. Найдем координаты этих точек:
- Координаты точки Р: Р(4.5, 0, 4.147);
- Координаты точки К: К(2.25, 3.897, 0).

5. Теперь найдем координаты точки М. У нас уже есть отношение отрезка CM к отрезку CC₁, равное 1:3. Следовательно, используя данное отношение, мы можем найти координаты точки М:
- Координаты точки М: М(3.375, 5.876, 0).

6. Мы знаем, что плоскость, проходящая через точки К, М и Р, пересекает грань АА₁В₁В. Найдем уравнение этой плоскости.

Используя формулу нахождения уравнения плоскости через три точки, получим следующее уравнение плоскости:

x - x₀ y - y₀ z - z₀
------- + --------- + -------
a b c

Где (x₀, y₀, z₀) - координаты одной из трех заданных точек, (x, y, z) - произвольные координаты точки плоскости, (a, b, c) - координаты нормали плоскости.

Подставим координаты точек К, М и Р в уравнение, чтобы найти коэффициенты a, b, c.
- Уравнение плоскости: 4.5x + 3.897y + 4.147z - 16.87 = 0.

7. Теперь осталось найти длину отрезка, по которому плоскость, найденная в предыдущем пункте, пересекает грань АА₁В₁В. Для этого нам понадобятся вычисления координат пересечения плоскости и грани.

Зафиксируемся на грани АА₁В₁В. Найдем координаты точек A₁ и В₁.
- Координаты точки A₁: A₁(4.5, 0, 0);
- Координаты точки В₁: B₁(9, 0, 0).

Подставим координаты точек A₁ и В₁ в уравнение плоскости, чтобы найти координаты точек пересечения. Получим:
- Координаты точки пересечения 1: P(6.296, 0, 0);
- Координаты точки пересечения 2: P'(3.703, 0, 0).

8. Наконец, найдем длину отрезка P'P, являющегося пересечением плоскости и грани АА₁В₁В. Это можно сделать используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
- Длина отрезка P'P: √[(3.703 - 6.296)² + (0 - 0)² + (0 - 0)²] = 2.593.

Ответ: Длина отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки K, M и P, пересекает грань АА₁В₁В, равна 2.593.