Ад и вс основания трапеции авсд, р - точка пересечения биссектрис углов дав и авс, к- точка пересечения биссектрис углов всд и сда. найдите длину средней линии трапеции, если ав=4см, сд=10см, рк=1см.

Я вот так "хитро" напишу :)).
Если "сдвинуть" точку K, совместив её с точкой P, то получится описанная трапеция, так как биссектрисы всех углов пересекутся в одной точке.
Это означает, что 
AB + CD = (AD - PK) + (BC - PK);
или
(AD + BC)/2 = (AB + CD)/2 + PK = (4 + 10)/2 + 1 = 8;

На самом деле средняя линия разбивается на 3 куска, один из которых PK, а два других - медианы к гипотенузам прямоугольных треугольников APB и CKD. То есть она равна AB/2 + CD/2 + PK. Ну, это тоже решение. Надо только обосновать :)).