Abcda1b1c1d1 - параллелепипед. докажите, что ad || a1b1c1

Чтобы доказать, что отрезок ad параллелен отрезку a1b1c1 в параллелепипеде Abcda1b1c1d1, нам нужно использовать определение параллельности и свойства параллелограммов.

1. Определение параллельности: Две прямые линии считаются параллельными, если они не пересекаются и не пресекаются с другой прямой линией на плоскости.

2. Свойство параллелограммов: Противоположные стороны и диагонали параллелограмма параллельны.

Теперь давайте рассмотрим параллелепипед Abcda1b1c1d1 и отрезки ad и a1b1c1.

Пусть a и a1 - вершины одного основания параллелепипеда. d и b1 - вершины другого основания.

Теперь давайте предположим, что отрезок ad не параллелен отрезку a1b1c1.

1. Предположение: Пусть ad и a1b1c1 пересекаются в точке P.

2. Точка P лежит на отрезке ad, значит, она может быть представлена в виде P = ad + t(ap), где 0 <= t <= 1.

3. Точка P также лежит на отрезке a1b1c1, поэтому она может быть представлена в виде P = a1b1c1 + s(a1c1), где 0 <= s <= 1.

4. Наша цель - доказать, что существуют такие t и s, что точка P, представленная обоими способами, совпадает.

5. Подставим P = ad + t(ap) в a1b1c1 + s(a1c1):

ad + t(ap) = a1b1c1 + s(a1c1)

6. Раскроем скобки:

ad + t(ap) = a1b1c1 + sa1 + sc1

7. Поскольку параллелограмм а1b1c1d1, то отрезок a1d1 параллелен отрезку b1c1.

8. Это означает, что вектор a1d1 параллелен вектору b1c1.

9. Если векторы параллельны, то их сумма и разность также параллельны.

a1d1 - a1d = (a1d1 - ad) = (a1b1c1 + sa1 + sc1) - ad

Обозначим (a1d1 - ad) как вектор u.

u = a1b1c1 + sa1 + sc1 - ad

10. Вектор u - это сумма векторов на одно основание параллелепипеда.

11. Но требовалось, чтобы два основания параллелепипеда были параллельными.

Значит, вектор u должен равняться нулевому вектору.

u = a1b1c1 + sa1 + sc1 - ad = 0

12. Теперь, равенство 0 = 0 дает нам t = s = 0.

ad + t(ap) = a1b1c1 + s(a1c1)
ad + 0 = a1b1c1 + 0
ad = a1b1c1

13. Значит, отрезок ad параллелен отрезку a1b1c1.

Таким образом, мы доказали, что отрезок ad || a1b1c1 в параллелепипеде Abcda1b1c1d1.