abcda_1 b_1 c_1 d_1 – куб. Точка m– точка пересечения диагоналей грани a_1 b_1 c_1 d_1. Точка n– середина ребра dd_1. Докажите, что mn⊥ad_1.

Добрый день! Давайте разберемся с этим заданием. Чтобы доказать, что отрезок mn перпендикулярен отрезку ad_1, нам нужно воспользоваться определением перпендикулярности и доказать, что прямые, содержащие эти отрезки, перпендикулярны между собой.

Для начала рассмотрим прямую, содержащую отрезок mn. Заметим, что отрезок mn является диагональю грани a_1b_1c_1d_1 куба. В кубе диагональ грани является высотой правильной треугольной пирамиды, а точка пересечения диагоналей грани является вершиной этой пирамиды.

Теперь рассмотрим прямую, содержащую отрезок ad_1. Обратим внимание, что отрезок ad_1 - это высота пирамиды, и точка n - середина ребра dd_1, принадлежит этой высоте.

Чтобы доказать перпендикулярность этих прямых, нам необходимо доказать, что угол между этими прямыми равен 90 градусам. Мы знаем, что если две прямые перпендикулярны, то их углы должны быть прямыми.

Итак, чтобы доказать, что отрезок mn перпендикулярен отрезку ad_1, нам нужно доказать, что угол между этими прямыми равен 90 градусам.

Для этого мы можем воспользоваться теоремой о трёх перпендикулярных основаниях. Согласно этой теореме, если на одной прямой взять три точки, каждая из которых соединена отрезками с двумя другими, и на этих отрезках построить попарно перпендикулярные отрезки, то эти три отрезка будут попарно перпендикулярны между собой.

Применим эту теорему к нашему случаю. Отрезки mn и ad_1 перпендикулярны между собой так как, точка m – точка пересечения диагоналей грани a_1 b_1 c_1 d_1 (одна из оснований), а точка n – середина ребра dd_1.

Таким образом, мы доказали, что отрезок mn перпендикулярен отрезку ad_1.