Abcd-выпуклый четырёхугольник. докажите, что если вписанные окружности в треугольники abc и cda взаимно касаются, то вписанные окружности в треугольники abd и всd тоже будут взаимно касаться.

 Положим что окружность вписанная в треугольник ABC касается AB,BC,CA в точках N,M,X , аналогично окружность ACD касается CD,DA,CA в точках  G,L,K по условию окружности касаются друг друга следовательно X=K. Тогда AX=AN, BN=BD, CD=CX тоже самое CG=CX , GD=LD, AL=AX тогда получим AB+CD=BC+AD (свойства описанного четырехугольника), теперь удобнее всего воспользоваться достаточным условием вписанности в четырехугольник окружности, оно гласит что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность тогда, когда окружности вписанные в треугольники ABC и ADC или BCD и ABD касаются друг друга. 
Это можно доказать отдельно, если расписать все по отрезкам касательных и воспользоваться тем, что AB+CD=BC+AD.