Abcd - трапеция. доказать: a) bo: od=co: oa b)do: bo=2, если bc= ad/2

Чтобы доказать данные утверждения, нам необходимо использовать свойства трапеции и применить соответствующие геометрические законы.

1) Доказательство утверждения "bo: od = co: oa":

Согласно свойствам трапеции, линии, соединяющие середины боковых сторон трапеции, параллельны и равны по длине. Обозначим середины боковых сторон трапеции ABCD как E и F соответственно.

Таким образом, получим:
AE = CD/2 (по свойству серединного перпендикуляра)
BF = AD/2 (по свойству серединного перпендикуляра)
EF = BC (по свойству трапеции)

Теперь рассмотрим треугольники AOE и CFE:
AOE - прямоугольный треугольник, так как AE является радиусом окружности, описанной вокруг трапеции ABCD.
CFE - прямоугольный треугольник, так как FE является радиусом окружности, описанной вокруг трапеции ABCD.

Таким образом, треугольники AOE и CFE подобны и имеют равные соотношения сторон:
AO/OC = OE/EF = AE/CF

Подставим значения из ранее полученных равенств:
AO/OC = CD/2 / BC = CD/BC * 1/2 = 2 * CD/BC

Аналогично, AE/CF = AD/2 / BC = AD/BC * 1/2 = 2 * AD/BC

Таким образом получаем:
AO/OC = 2 * CD/BC = 2 * AD/BC = AE/CF

Заметим, что соотношение AO/OC равно соотношению AE/CF, поэтому можно сделать вывод, что
bo: od = co: oa.

2) Доказательство утверждения "do: bo = 2, если bc = ad/2":

Заметим, что в предыдущем доказательстве мы получили, что соотношение AO/OC равно
2 * CD/BC = 2 * AD/BC.

Таким образом, мы имеем, что AO/OC = 2 * CD/BC = 2 * AD/BC, и обозначим эти равенства как (1).

Теперь рассмотрим треугольники AOD и BOC:
AOD - прямоугольный треугольник, так как OD - высота, опущенная на основание AD,
в то же время OD - медиана, и трапеции ABCD медианы перпендикулярны основаниям.
BCO - прямоугольный треугольник, так как BO - высота, опущенная на основание BC,
в то же время BO - медиана, и трапеции ABCD медианы перпендикулярны основаниям.

Следовательно, треугольники AOD и BOC подобны и имеют равные соотношения сторон:
DO/BO = OD/OC = AD/BC

Из равенства (1) имеем:
DO/BO = 1/2 * AO/OC = 1/2 * 2 * CD/BC = CD/BC

Но нам дано, что BC = AD/2, поэтому подставляем это значение:

DO/BO = CD/(AD/2) = 2 * CD/AD

Таким образом, получаем, что do: bo = 2, при условии, что bc = ad/2.

Оба утверждения доказаны.