ABCD-трапеция, AK:KB=2:7 (рис.260) а)Докажите, что PK*BK=AK*KC
б)Найдите отношение площадей и периметров треугольников APK и KBC

Давайте рассмотрим данный вопрос.

a) Чтобы доказать, что PK*BK=AK*KC, мы можем использовать теорему подобных треугольников.

Рисунок не особо четкий. Но похоже, что мы имеем дело с прямоугольной трапецией ABCD, где AB || CD, и AK является диагональю.

Воспользуемся подобными треугольниками APK и KBC. Обратите внимание, что треугольники APK и KBC имеют общий угол при вершине K.

Теперь, поскольку AK является диагональю трапеции, то AK разбивает ABCD на два равных треугольника ABK и KCD, так как диагональ трапеции делит ее пополам.

Дано, что AK:KB=2:7, что означает, что отношение длин AK и KB равно 2:7. А значит, длина AK в 2 раза больше длины KB.

Теперь взглянем на треугольники. Треугольник APK подобен треугольнику KBC, поскольку у них есть общий угол и они имеют пропорциональные стороны. Конкретно, отношение стороны AK к стороне KC равно 2:7, так же, как и отношение стороны KB к стороне KA.

Теперь давайте сравним произведения сторон в треугольниках APK и KBC. Умножим сторону PK на сторону BK в треугольнике APK. Получим PK * BK.

Теперь умножим сторону KC на сторону AK в треугольнике KBC. Получим AK * KC.

По построению, длина AK в 2 раза больше длины KB. Значит, PK * BK = AK * KC, и мы доказали, что PK * BK = AK * KC.

b) Теперь найдем отношение площадей и периметров треугольников APK и KBC.

Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату отношения длин соответствующих сторон.

Поэтому, чтобы найти отношение площадей треугольников APK и KBC, мы должны возвести в квадрат отношение длин сторон AK и KC, которое равно 2:7.

Так как 2/7^2 = 4/49, то отношение площадей равно 4/49.

Чтобы найти отношение периметров треугольников APK и KBC, нужно просто сложить соответствующие стороны.

Периметр треугольника APK равен AK + PK + KA = AK + PK + KB.

И периметр треугольника KBC равен KC + KB + BC = KC + KB + KA.

Мы знаем, что отношение сторон AK и KB равно 2:7, поэтому отношение периметров также равно 2:7.

Это значит, что отношение периметров треугольников APK и KBC равно 2:7.

Итак, мы доказали, что PK * BK = AK * KC, а также найдены отношения площадей и периметров треугольников APK и KBC.