А1. На рисунке 1 точка А - середина отрезка РК,
АВ || CD, BC || AD,
BC || PM, CD| НК. Найдите РМ и
НК, если CD 16 дм, ВС 8 дм.

А2. Плоскость в пересекает стороны
BA и BC треугольника АВС в
точках НиК соответственно. Докажите, что AC ||
е, если Ник - середины сторон AB и BC.
В1. Даны четыре точки A, B, C, D, не лежание в
одной плоскости. Докажите, что любые две из трех
прямых, соединяюпцис середины отрезков AB и
CD, AC и BD, AD и BC, лежат в одной плоскости.

А1. Для начала, нам нужно найти РМ и НК. Для этого воспользуемся свойствами параллельных прямых и теоремой Талеса.

У нас есть следующие данные:

- Точка А является серединой отрезка РК.
- АВ параллельно CD.
- BC параллельно AD.
- BC параллельно PM.
- CD пересекает НК.

Мы знаем также, что CD = 16 дм и ВС = 8 дм.

Давайте начнем с нахождения РМ. Так как AB || CD и А - середина РК, можно сделать вывод, что РМ также является серединой отрезка CK. Это свойство параллельных прямых. Таким образом, РМ = МК = 16/2 = 8 дм.

Теперь давайте найдем НК. Мы знаем, что НК - это отрезок CD, который пересекает BC. Следовательно, НК = CD - PK.

Мы обнаруживаем, что НК разделен на два отрезка - PK и KC. Мы уже знаем, что PK = RM = 8 дм. Остается найти KC. Но мы также знаем, что BC || PM и BC параллельно PM. Это означает, что NK параллельно BM, и, следовательно, KC || MB.

Теперь используем теорему Талеса. По теореме Талеса, если две прямые параллельны и пересекают третью прямую, то отношение отрезков, образованных пересекающими прямыми, равно отношению длин параллельных прямых.

Применим эту теорему к треугольнику ABC и прямым KC и MB. Мы знаем, что AB || CD и НК || BM. Таким образом, отношение НК к АВ равно отношению КС к МВ. Мы можем записать это в виде:

НК/АВ = КС/МВ.

Заменим известные значения:

НК/8 = КС/(8+8).

Мы можем упростить это выражение:

НК/8 = КС/16.

Умножим обе стороны на 8:

НК = КС/2.

Мы уже знаем, что КС = CD - PK = 16 - 8 = 8 дм. Подставим это значение:

НК = 8/2 = 4 дм.

Таким образом, РМ = 8 дм и НК = 4 дм.

А2. Нам нужно доказать, что AC || е, если Ник - середины сторон AB и BC.

Для этого воспользуемся свойством параллельных прямых. Мы знаем, что AB || CD и Ник - середина AB. Поэтому Ник делит AB на два равных отрезка. Мы также знаем, что Ник - середина стороны BC. Значит, он делит BC на два равных отрезка.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC. Нам нужно доказать, что AC || е.

Мы знаем, что Ник делит AB и BC на равные отрезки. Значит, АН = NB и NK = КС.

Теперь рассмотрим треугольник HNK и треугольник CNK. Они имеют две пары равных сторон: НК = КС и НС = НС (так как Ник - середина сторон AB и BC).

Таким образом, треугольники HNK и CNK равны по двум сторонам и, следовательно, по углу между этими сторонами. Мы можем сделать вывод, что угол HНК равен углу СНК.

Далее рассмотрим треугольник ACN. У нас есть две пары равных углов: угол АНС = углу НКС (поскольку треугольники HNK и CNK равны по двум сторонам и углу).

По свойству углов при параллельных прямых, мы знаем, что когда две пары противоположных углов равны, прямые параллельны.

Таким образом, мы доказали, что AC || е.

В1. Нам нужно доказать, что любые две из трех прямых, соединяющих середины отрезков AB и CD, AC и BD, AD и BC, лежат в одной плоскости.

Для этого воспользуемся свойством прямых, соединяющих середины отрезков. Мы знаем, что АВ || CD, AC || BD и AD || BC (по условию).

Рассмотрим треугольник ABC. В этом треугольнике мы имеем три пары параллельных прямых: АВ || CD, AC || BD и AD || BC. Поэтому все три пары прямых лежат в одной плоскости.

Таким образом, мы доказали, что любые две из трех прямых, соединяющих середины отрезков AB и CD, AC и BD, AD и BC, лежат в одной плоскости.