А) точки А ( 7; 0; 14) В(14;7;0) С (7;-5;0) являются тремя последовательными вершинами параллелограмма АВСД. Найдите координаты его четвертой вершины Д. б) Дан параллелограмм ОВСД с вершинами О(0;0;0), В(1;2;0), С(2;0;3). Найдите длину его диагонали ВД.

а) D(0;-12;14). б) |BD| = 4 ед.

Объяснение:

а) Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Найдем координаты точки пересечения:

Xo = (Xa+Xc)/2 = (7+7)/2 = 7.

Yo = (Ya+Yc)/2 = (0-5)/2 =-2,5.

Zo = (Za + Zc)/2 = (14+0)/2 = 7.

Итак, имеем точку пересечения диагоналей: О(7;-2,5;7)

Тогда координаты точки D найдем, зная координаты начала и середины отрезка BD:

Xd = 2·Xo - Xb = 14 - 14 = 0.

Yd = 2·Yo - Yb = -5 -7 = -12.

Zd = 2·Zo - Zb = 14 - 0 = 14.

ответ: D(0;-12;14).

Или методом параллельного переноcа точки А на вектор ВС (так как в параллелограмме противоположные стороны параллельны и ВС ║AD).

BC{7-14;-5-7;0-0} = {-7;-12;0}:

D(Xa+(-7);Ya+(-12);Za+0) = D(0;-12;14).

б) Найдем координаты вершины D методом параллельного переноса точки О на вектор ВС:

ВС{Xc-Xb;Yc-Yb;Zc-Zb} = {2-1;0-2;3-0} = {1;-2;3}.

Тогда имеем точку D(Xo+1);Yo+(-2);Zo+3) = D(1;-2;3).

Длина (модуль) вектора BD:

|BD| = √((Xd-Xb)²+(Yd-Yb)²+(Zd-Zb)²) = √(0²+(-4)²+0²) = 4 ед.