8 класс. Самостоятельная работа по геометрии по теме «Подобные треугольники»
Вариант 2
1. В треугольниках PQR и ABC PQ=16 см, QR=20 см,
PR=28 см, AB=12 см, ВС=15 см, АС=21 см. Докажите подобие этих
треугольников и найдите отношение их периметров и площадей.
2. В треугольнике ABC точки ми N лежат на сторонах AB и BC
соответственно, MN|АС.
а) Докажите, что треугольник BMN подобен треугольнику ВАС
б) Найдите MN, если AM=6 см, BM=8см, АС=21 см.
треугольников и найдите отношение их периметров и площадей.​

Добрый день! Давайте разберем по порядку каждую задачу, чтобы вам было понятно.

1. Для того чтобы доказать подобие треугольников PQR и ABC, нам необходимо проверить выполнение двух условий: соответственность и равенство соответствующих отношений сторон.

а) Проверим соответственность:
- Угол P в треугольнике PQR соответствует углу A в треугольнике ABC.
- Угол Q в треугольнике PQR соответствует углу B в треугольнике ABC.
- Угол R в треугольнике PQR соответствует углу C в треугольнике ABC.

б) Проверим равенство отношений сторон:
- Отношение длин сторон PQ и AB: PQ/AB = 16/12 = 4/3.
- Отношение длин сторон QR и BC: QR/BC = 20/15 = 4/3.
- Отношение длин сторон PR и AC: PR/AC = 28/21 = 4/3.

Видим, что соответствие углов и равенство отношений сторон выполняются, следовательно, треугольники PQR и ABC подобны.

Чтобы найти отношение их периметров, нужно просто посчитать отношение сумм длин сторон одного треугольника к сумме длин сторон другого треугольника.
Периметр треугольника PQR равен P = PQ + QR + PR = 16 + 20 + 28 = 64 см.
Периметр треугольника ABC равен P = AB + BC + AC = 12 + 15 + 21 = 48 см.

Тогда отношение периметров треугольников PQR и ABC равно:
P(PQR) / P(ABC) = 64 / 48 = 4/3.

Чтобы найти отношение их площадей, нужно посчитать отношение квадратов длин одной стороны одного треугольника к квадратам длин соответствующей стороны другого треугольника.
Площадь треугольника PQR можно найти по формуле Герона: S(PQR) = √(p(p - PQ)(p - QR)(p - PR)), где p - полупериметр.
p(PQR) = (PQ + QR + PR) / 2 = (16 + 20 + 28) / 2 = 32 см.
S(PQR) = √(32(32 - 16)(32 - 20)(32 - 28)) = √(32 * 16 * 12 * 4) = √(32 * 192) = √(6144) = 78.5 см².

Площадь треугольника ABC можно также найти по формуле Герона: S(ABC) = √(p(p - AB)(p - BC)(p - AC)).
p(ABC) = (AB + BC + AC) / 2 = (12 + 15 + 21) / 2 = 24 см.
S(ABC) = √(24(24 - 12)(24 - 15)(24 - 21)) = √(24 * 12 * 9 * 3) = √(24 * 324) = √(7776) = 88.2 см².

Тогда отношение площадей треугольников PQR и ABC равно:
S(PQR) / S(ABC) = 78.5 / 88.2 = 0.889 (округлим до трех знаков после запятой).

Таким образом, отношение периметров треугольников PQR и ABC составляет 4/3, а отношение площадей треугольников PQR и ABC составляет 0.889.

2. В этой задаче нам нужно доказать подобие треугольников BMN и ВАС и найти длину отрезка MN.

а) Для доказательства подобия треугольников BMN и ВАС, также проверим соответственность и равенство отношений сторон:
- Угол B в треугольнике BMN соответствует углу B в треугольнике ВАС.
- Угол M в треугольнике BMN соответствует углу A в треугольнике ВАС.
- Угол N в треугольнике BMN соответствует углу C в треугольнике ВАС.

Чтобы проверить равенство отношений сторон, посчитаем их.
Отношение длин сторон BM и BA: BM/BA = BM/BC = 8/15.
Отношение длин сторон MN и AC: MN/AC = MN/AB = MN/21.

б) Теперь найдем длину отрезка MN.
Мы знаем, что AM = 6 см и BM = 8 см. Тогда MB = AB - AM = 15 - 6 = 9 см.
По теореме Пифагора в треугольнике ABM: AB² = AM² + BM².
Вставляем значения: 15² = 6² + 9².
Получаем: 225 = 36 + 81.
Итак, AB = √(36 + 81) = √117 = 10.8 см.

Теперь нам известны две стороны треугольника ABC (AB и AC) и угол между ними (угол BAC), поэтому мы можем использовать теорему синусов для определения отношения длин стороны MN и стороны AB:
MN/AB = sin(угол BAC) / sin(угол BMN).

Мы уже рассчитали AB = 10.8 см, поэтому сосредотачиваемся на углах.

Угол BMN - это прямой угол, так как MN|AC, значит BMN = 90°.
Угол BAC - это угол в треугольнике ABC, мы не знаем его точное значение. Давайте назовем его альфа.

Теперь можем записать отношение, используя теорему синусов: MN/10.8 = sin(альфа) / sin(90°) = sin(альфа) / 1 = sin(альфа).

Отсюда следует, что MN = 10.8 * sin(альфа).

Если бы мы знали значение угла BAC, могли бы вычислить sin(альфа), но поскольку данная информация отсутствует, мы не можем точно найти MN без дополнительных данных.

Это и есть решение задачи.

Если у вас остались вопросы, пожалуйста, обратитесь.