74. В треугольнике PQR, площадь которого равна 12, известно, что PQ 3, 2PQR в 30°. Найдите длину стороны QR.
75. В треугольник LMN вписана окружность радиусом 5. Найдите
площадь треугольника, если периметр треугольника равен 60,
76. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 46, если
8
радиус описанной окружности равен
15
( 3
оле.
4 Vis
4
З
Рис. 46.
А)​

74. Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника:

Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота

Известно, что площадь треугольника равна 12, поэтому у нас есть следующее уравнение:

12 = (1/2) * PQ * высота

Также нам дано, что угол PQR равен 30°, а угол P обведён т.к речь идет о PQR.

Мы можем использовать правило синусов для нахождения высоты:

высота = PQ * sin(∠PQR)

Подставляем это значение в уравнение для площади:

12 = (1/2) * PQ * PQ * sin(∠PQR)

Для дальнейшей работы нам необходимо найти значение синуса 30°.

sin(30°) = 1/2

Подставляем это значение в уравнение:

12 = (1/2) * PQ * PQ * (1/2)

Упрощаем выражение:

12 = (1/4) * PQ^2

Умножаем обе части уравнения на 4:

48 = PQ^2

Извлекаем квадратный корень:

PQ = √48, PQ примерно равно 6.93

Теперь у нас есть значение PQ.

Чтобы найти длину стороны QR, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

QR^2 = PR^2 + PQ^2

У нас нет информации о стороне PR, но мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180° и угол PQR равен 30°.

Следовательно, угол RPQ равен 180° - 30° - 90° = 60°.

Мы можем использовать теорему синусов для нахождения стороны PR:

PR / sin(∠RPQ) = PQ / sin(∠PQR)

PR / sin(60°) = PQ / sin(30°)

PR / (sqrt(3)/2) = 6.93 / (1/2)

PR / (sqrt(3)/2) = 6.93 * 2

PR / sqrt(3) = 13.86

PR = 13.86 * sqrt(3)

Теперь у нас есть значения PQ и PR, и мы можем подставить их в уравнение для длины стороны QR:

QR^2 = (13.86 * sqrt(3))^2 + (6.93)^2

QR^2 = 481.29 + 48

QR^2 = 529.29

QR = sqrt(529.29), QR примерно равно 23.00

Итак, длина стороны QR равна примерно 23.00.

75. Для решения этой задачи мы также можем использовать формулу для площади треугольника:

Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота

У нас есть информация о радиусе вписанной окружности и периметре треугольника:

Периметр треугольника = LM + MN + NL = 60

Мы также знаем, что периметр треугольника можно выразить через стороны треугольника и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника = 2 * (LM + MN + NL) = 60

LM + MN + NL = 60 / 2 = 30

Теперь у нас есть сумма сторон треугольника.

Также нам дано, что радиус вписанной окружности равен 5.

Мы знаем, что радиус, высота и биссектриса треугольника вписаны в одну точку, называемую центром окружности.

Пусть точка M - центр окружности.

Высота треугольника равна радиусу вписанной окружности, поэтому у нас есть следующее уравнение:

(1/2) * LM * высота = площадь треугольника

Мы знаем, что высота равна 5, поэтому у нас есть следующее уравнение:

(1/2) * LM * 5 = площадь треугольника

LM * 5 = 2 * площадь треугольника

LM = (2 * площадь треугольника) / 5

Также нам дано, что сумма сторон треугольника равна 30, поэтому у нас есть следующее уравнение:

LM + MN + NL = 30

Подставляем значение LM и выразим MN и NL:

(2 * площадь треугольника) / 5 + MN + NL = 30

MN + NL = 30 - (2 * площадь треугольника) / 5

Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника:

площадь треугольника = (1/2) * основание * высота

Подставляем значение основания и высоты:

площадь треугольника = (1/2) * MN * 5

Подставляем это значение в уравнение для суммы сторон треугольника:

MN + NL = 30 - (2 * (1/2) * MN * 5) / 5

MN + NL = 30 - MN

2 * MN + NL = 30

NL = 30 - 2 * MN

Теперь мы можем найти площадь треугольника, подставив выражение для NL в уравнение для площади треугольника:

площадь треугольника = (1/2) * MN * 5

площадь треугольника = (1/2) * MN * 5 = (1/2) * MN * (30 - 2 * MN)

раскрываем скобки:

площадь треугольника = (1/2) * MN * 5 = (1/2) * (MN * 30 - 2 * MN^2)

площадь треугольника = (5/2) * MN - MN^2

Мы получили квадратное уравнение. Для его решения нам необходимо найти значения MN.

По условию у нас нет информации о третьей стороне, поэтому мы не можем точно найти площадь треугольника.

76. Для решения этой задачи нам необходимо найти высоту треугольника.

Мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника:

Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота

У нас дано, что радиус описанной окружности равен 15, что является высотой tre boare

Также нам дано, что высота равна 8, что является основанием tranea

Подставляем эти значения в формулу для площади треугольника:

Площадь треугольника = (1/2) * 15 * 8

Площадь треугольника = 120

Итак, площадь треугольника равна 120.