70 11 класс решить 3 1) основа четырехугольной пирамиды - прямоугольник со сторонами 12 см и 30 см. основа высоты пирамиды - точка пересечения диагоналей прямоугольника. найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если её высота равна 8 см. 2) стороны основ треугольной пирамиды равны 6 см, 10 см и 14 см. боковые грани наклонены к плоскости основы под углом 60 градусов. найти площадь полной поверхности пирамиды. 3) основа пирамиды sabc- равнобедренный треугольник abc. аb=bс=12 см. боковая грань sac, которая имеет основу треугольника, перпендикулярна к плоскости abc, а две другие боковые грани наклонены к плоскости под углом 60 градусов, so=4√3 см. найти площадь основы пирамиды.

1) Находим проекции высот боковых граней на основание.

h1 = √((30/2)² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 см.

h2 = √((12/2)² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см.

Получаем: Sбок = (1/2)*(2*12*17 + 2*30*10) = 204 + 300 = 504 см².

2) Если боковые грани наклонены к плоскости основы под одинаковым углом, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности, а проекции высот боковых граней равны между собой и равны радиусу вписанной окружности.

Находим полупериметр основания р = (6 + 10 + 14 = )/2 = 30/2 = 15 см.

Площадь основания находим по формуле Герона:

So = √(15*9*5*1) = 15√3 см².

Радиус вписанной окружности r = S/p = 15√3/15 = √3 см.

Высоты наклонных граней равны h = r/cos 60° = √3/(1/2) = 2√3 см.

Sбок = (1/2)Ph = (1/2)*30*2√3 = 30√3 см².

Площадь полной поверхности пирамиды равна:

S = So + Sбок = 15√3 + 30√3 = 45√3 см².

3) Проведём перпендикуляр ОК  к боковой стороне основания.

Обозначим ОС = х, КС = у, ОК = h, BO = √(12² - x²) = √(144 - x²).

Из прямоугольного треугольника ВОС имеем:

h² = y(12 - y),

12y - y² = 16.

Получаем квадратное уравнение  y² - 12y + 16 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно y:  

Ищем дискриминант:

D=(-12)^2-4*1*16=144-4*16=144-64=80;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

y_1=(√80-(-12))/(2*1)=(2√80+12)/2=√80/2+12/2=√80/2+6 ≈ 10.472136;

это ВК.

y_2=(-√80-(-12))/(2*1)=(-√80+12)/2=-√80/2+12/2=-√80/2+6 = 6 - 2√5 ≈ 1.527864, это у.

Отсюда находим искомое значение стороны АС:

АС = 2√(h² + y²) = 2√(16 + (6 - 2√5)²) = 4√(18 - 6√5) см.