6. в треугольнике ABC угол С равен 90° , DC=3, tgB 2. Найдите площадь АBC.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади треугольника: S = 1/2 * a * b * sin(C), где a и b - длины сторон треугольника, C - угол между этими сторонами.

В данном случае известны следующие данные:
- Угол C равен 90°, что означает, что треугольник ABC является прямоугольным.
- Мы знаем длину стороны DC, которая равна 3 (DC = 3).
- Также нам известно, что tgB = 2.

Чтобы найти площадь треугольника ABC, нам нужно найти длины оставшихся сторон треугольника.

Для начала найдем сторону AC. Так как у нас прямоугольный треугольник, мы можем использовать теорему Пифагора:
AC^2 = BC^2 + AB^2

В данном случае сторона BC равна DC, то есть BC = DC = 3. Подставим это значение в уравнение:
AC^2 = 3^2 + AB^2
AC^2 = 9 + AB^2

Так как мы не знаем значение стороны AB, нам надо найти ее. Для этого воспользуемся информацией о значение tgB = 2. Отношение тангенса угла B катета противолежащего углу B (AB) к катету прилежащему углу B (BC) равно 2. Поэтому мы можем написать следующее уравнение:
tgB = AB / BC
2 = AB / 3

Решим это уравнение относительно AB. Умножим обе части уравнения на 3:
2 * 3 = AB
6 = AB

Теперь мы знаем длину стороны AB, которая равна 6. Подставим это значение в наше первое уравнение:
AC^2 = 9 + 6^2
AC^2 = 9 + 36
AC^2 = 45

Теперь найдем длину стороны AC, возведя в квадрат обе части уравнения:
AC = √45
AC = 6.708

Теперь у нас есть все данные, чтобы найти площадь треугольника. Подставим значения в формулу площади треугольника:
S = 1/2 * a * b * sin(C)
S = 1/2 * 3 * 6.708 * sin(90)
S = 1/2 * 3 * 6.708 * 1
S = 3 * 6.708 * 1
S = 20.124

Площадь треугольника ABC равна 20.124.