5.57. Площадь треугольника ABC равна 18 см.
КСІ (АВС). Если угол между плоскостями треуголь-
ников ABK и ABC: а) а = 30°; б) а = 45°; в) а = 60°, то
найдите площадь треугольника ABK (рис.10).
AD​

Чтобы найти площадь треугольника ABK, нам сначала нужно понять, как связаны площади треугольников ABC и ABK.

Для начала, введем обозначения: пусть S_ABC - площадь треугольника ABC, S_ABK - площадь треугольника ABK. Кроме того, пусть h - высота треугольника ABC, опущенная из вершины C на сторону AB, и пусть x - длина отрезка AD.

Первый шаг: найдем длину отрезка AD. Заметим, что треугольники ABC и ADB подобны друг другу в соответствии с теоремой о перпендикулярности. Это означает, что соответствующие стороны их треугольников пропорциональны.

Поскольку точка D является основанием высоты, а высота делит основание на две равные части, то AD будет равна половине длины основания AB. То есть, AD = 0.5 * AB.

Теперь мы знаем, что AD = 0.5 * AB.

Второй шаг: найдем высоту h треугольника ABC. Заметим, что угол между плоскостью треугольников ABC и ABK является общим для этих плоскостей, а значит, высота h является общей для треугольников ABC и ABK.

Третий шаг: найдем отношение площадей треугольников ABC и ABK. Используем свойство подобных треугольников, которое гласит, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения длин соответствующих сторон.

Поскольку треугольники ABC и ABK подобны, отношение их площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон, то есть, отношение площадей равно (ABK / ABC)^2.

Четвертый шаг: подставим известные значения и найдем площадь треугольника ABK.

a) При а = 30°:
Треугольник ABK подобен треугольнику ABC, поэтому отношение их площадей равно (ABK / ABC)^2 = (AB / AC)^2 = (0.5 * AB / AC)^2.
Таким образом, площадь треугольника ABK будет равна (0.5 * AB / AC)^2 * S_ABC.

b) При а = 45°:
Треугольник ABK подобен треугольнику ABC, поэтому отношение их площадей равно (ABK / ABC)^2 = (AB / AC)^2 = (0.5 * AB / AC)^2.
Таким образом, площадь треугольника ABK будет равна (0.5 * AB / AC)^2 * S_ABC.

в) При а = 60°:
Треугольник ABK подобен треугольнику ABC, поэтому отношение их площадей равно (ABK / ABC)^2 = (AB / AC)^2 = (0.5 * AB / AC)^2.
Таким образом, площадь треугольника ABK будет равна (0.5 * AB / AC)^2 * S_ABC.

Итак, мы рассмотрели все возможные значения угла а и получили формулу для вычисления площади треугольника ABK в зависимости от угла а и площади треугольника ABC.