4. Diagonalele paralelogramului ABCD se intersectează în punctul O. Latura BC și diagonalele AC și BD sunt de 6, 8 și respectiv 5 cm (vezi figura). Găsiți perimetrul triunghiului BCO. Folositi proprictatea
diagonală a paralelogramelor pentru a rezolva.
5. Suma a două unghiuri ale unui romb este de 270. Găsiţi mărimea in grade a fiecăruia dintre aceste
unghiuri.
6. Latura CD a paralelogramului ABCD are 11.3 cm. Găsiți latura AB. Argumentați răspunsul,
7. Latura AB a rombului ABCD formează unghiuri cu diagonale AC şi BD.respectiv 35° şi 55 . Gasiti
unghiurile rombului.
8. Lalurile unui paralelogram se raportă ca 3: 5. iar perimetrul său este de 32 cm. Găsiți laturile
paralelogramului
9. Dinr-un vârf a dreptunghiului este coborátă perpendiculară pe diagonală. Baza perpendicularei
imparte această diagonală in scgmente. dintre care cel mai mic este de 2 cm. Unghiul dintre
perpendiculară și latura mai mică a dreptunghiului este de 30°. Calculați lungimea laturii mai mici a
dreptunghiului şi lungimca diagonalclor.
10. Pe prelungirea diagonalei AC a paralelogramului ABCD s-a depus două segmente egale AM și CN.
Dovediti că BNDM este un paralelogram.

4. Для нахождения периметра треугольника BCO, мы должны сначала определить длины его сторон. Из условия задачи известна длина стороны BC, которая равна 6 см. Мы также знаем, что диагонали AC и BD имеют длины 8 и 5 см соответственно.

Поскольку диагонали параллелограмма пересекаются в точке O, мы можем использовать свойство параллелограммов, которое гласит, что диагонали параллелограмма делятся пополам, чтобы найти длины отрезков AO и BO.

Поэтому AO и BO равны 1/2 длины диагоналей AC и BD, то есть 4 и 2,5 см соответственно.

Теперь у нас есть длины сторон треугольника BCO: BC = 6 см, BO = 2,5 см и CO = 4 см.

Чтобы найти периметр треугольника BCO, мы складываем длины его сторон:
П = BC + BO + CO = 6 + 2,5 + 4 = 12,5 см.

Таким образом, периметр треугольника BCO равен 12,5 см.

5. Пусть x и y - меры двух углов, сумма которых равна 270 градусам.

Мы знаем, что в ромбе все углы равны. Поэтому углы ромба можно обозначить как x, x, y, y.

Сумма меры углов ромба равна 360 градусов.

x + x + y + y = 360
2x + 2y = 360
x + y = 180.

Так как x + y = 270, мы можем записать уравнение:
180 = 270
x = 90.

Таким образом, оба угла ромба имеют меру 90 градусов.

6. Чтобы найти длину стороны AB, мы можем использовать свойство диагоналей параллелограмма.

Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому CD равно половине диагонали AC. Мы знаем, что длина CD равна 11,3 см.

Теперь мы можем выразить длину диагонали AC:
AC = 2 * CD = 2 * 11,3 = 22,6 см.

Так как AC - диагональ параллелограмма, она равна стороне AB.
Таким образом, длина стороны AB равна 22,6 см.

7. Углы ромба, образованные линиями AB и AC, и линиями AB и BD, суть углы между диагоналями и сторонами ромба.

Из условия задачи известно, что угол между AB и AC равен 35°, а угол между AB и BD равен 55°.

Так как диагонали ромба делят его углы пополам, мы можем найти углы ромба, образованные диагоналями с другими сторонами.

Угол между AC и BC равен половине угла между AC и AB.
Таким образом, мера этого угла равна 35° / 2 = 17,5°.

Угол между BD и BC равен половине угла между BD и AB.
Таким образом, мера этого угла равна 55° / 2 = 27,5°.

Таким образом, углы ромба равны 17,5°, 35°, 27,5° и 55°.

8. Пусть a и b - длины сторон параллелограмма.
По условию задачи, соотношение между длиной сторон равно 3:5.

Мы также знаем, что периметр параллелограмма равен 32 см.

Периметр параллелограмма выражается через длины его сторон a и b следующим образом:
2 * (a + b) = 32,
a + b = 16.

Так как отношение между длиной сторон равно 3:5, мы можем записать уравнение:
a/b = 3/5,
5a = 3b.

Подставим значение a = 16 - b в уравнение 5a = 3b:
5(16 - b) = 3b,
80 - 5b = 3b,
80 = 8b.

Таким образом, b = 10 см.

Подставив значение b в уравнение a + b = 16, мы можем найти a:
a + 10 = 16,
a = 6 см.

Таким образом, длина сторон параллелограмма равны 6 см и 10 см.

9. Пусть x - меньшая сторона прямоугольника, а y - большая сторона прямоугольника.

Опустим перпендикуляр из одного из вершин прямоугольника на диагональ. Пусть CM - меньший отрезок диагонали, и MN - больший отрезок диагонали.

Мы знаем, что один из углов прямоугольника составляет 30° с меньшей стороной, то есть x.

Мы также знаем, что меньший отрезок диагонали, CM, равен 2 см.

Пользуясь тригонометрией, мы можем записать уравнение:
tan(30°) = x/2,
1/√3 = x/2.

Применяя обратную тригонометрическую функцию, мы можем найти x:
x = 2 * 1/√3,
x = 2/√3.

Теперь мы можем найти большую сторону прямоугольника, используя отношение сторон:
x/y = 2/√3.

Зная значение x, мы можем записать уравнение:
2/√3 = y/x.

Умножим оба члена уравнения на x:
2 = y * √3/x.

Теперь подставим значение x = 2/√3:
2 = y * √3/(2/√3),
2 = y * √3 * √3/2,
2 = y * 3/2,
4 = 3y,
y = 4/3.

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна 2/√3 см, а большая сторона равна 4/3 см.

Чтобы найти длину диагонали, мы можем использовать теорему Пифагора:
длина диагонали^2 = (длина меньшего отрезка)^2 + (длина большего отрезка)^2,
длина диагонали^2 = 2^2 + (4/3)^2,
длина диагонали^2 = 4 + 16/9,
длина диагонали^2 = 36/9 + 16/9,
длина диагонали^2 = 52/9.

Извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения, получим:
длина диагонали = √(52/9),
длина диагонали = (2√13)/3.

Таким образом, длина меньшего отрезка прямоугольника составляет 2/√3 см, а длина диагонали равна (2√13)/3 см.

10. Мы должны доказать, что BNDM является параллелограммом.

Используем свойство параллелограммов, согласно которому противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.

По условию задачи, AM и CN - равные сегменты, проложенные на продолжении диагонали AC параллелограмма ABCD.

Кроме того, мы знаем, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке O. Поэтому, по свойству параллелограммов, BC и AD - равные и параллельные стороны параллелограмма.

Итак, у нас есть две пары противоположных сторон параллелограмма BNDM, которые равны и параллельны, что доказывает, что BNDM - параллелограмм.