3. через каждое ребро правильного тетраэдра проведена плоскость, парал-лельная противоположному ребру. найти отношение объема полученного параллелепипеда к объему тетраэдра.

Чтобы решить эту задачу, мы должны знать некоторые свойства правильного тетраэдра и уметь работать с объемами параллелепипедов.

Свойства правильного тетраэдра:
- В правильном тетраэдре все ребра равны друг другу.
- Любая прямая, соединяющая середины двух противолежащих ребер, является высотой тетраэдра.
- Высота тетраэдра делит любое из трех боковых ребер в отношении 2:1.

Шаг 1: Найдем высоту тетраэдра.
Обозначим сторону тетраэдра как а.
Высота тетраэдра будет равна половине длины бокового ребра, поэтому h = a/2.

Шаг 2: Найдем длину противоположного ребра.
Противоположное ребро будет являться основанием параллелограмма, который образуется при пересечении плоскостей, параллельных этому ребру. Такой параллелограмм будет иметь высоту, которая равна высоте тетраэдра (h = a/2) и основание, равное длине противоположного ребра. Поэтому, длина противоположного ребра равна 2h = 2(a/2) = a.

Шаг 3: Найдем объем тетраэдра.
Объем тетраэдра можно найти по формуле: V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота тетраэдра.
Так как тетраэдр правильный, его основание - равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле: S = (sqrt(3) * a^2) / 4.
Теперь можно вычислить объем тетраэдра:
V_tetrahedron = (1/3) * (sqrt(3) * a^2) / 4 * (a/2) = (sqrt(3) * a^3) / 24.

Шаг 4: Найдем объем параллелепипеда.
Объем параллелепипеда равен площади основания, умноженной на высоту.
Основание параллелепипеда - противоположное ребро тетраэдра, а высота - длина бокового ребра тетраэдра. Поэтому, V_parallelepiped = a * a * a = a^3.

Шаг 5: Найдем отношение объема параллелепипеда к объему тетраэдра.
Отношение будет равно V_parallelepiped / V_tetrahedron.
Подставим значения:
V_parallelepiped / V_tetrahedron = (a^3) / ((sqrt(3) * a^3) / 24) = (24 * a^3) / (sqrt(3) * a^3).
Упростим выражение:
V_parallelepiped / V_tetrahedron = 24 / sqrt(3).

Итак, ответ на задачу: отношение объема полученного параллелепипеда к объему тетраэдра равно 24 / sqrt(3).