27.3. Диагональ прямоугольника 12 см, угол между диагоналями 30°.
Найдите его площадь.

Чтобы найти площадь прямоугольника, в данном случае нам понадобятся две информации: длина одной его диагонали и угол между диагоналями.

Сначала нам нужно разделить прямоугольник на два равных треугольника, соединив его диагоналями. Если обратиться к изобразительной геометрии, можно увидеть, что таким образом у нас получаются два равносторонних треугольника (так как угол между диагоналями 30°, и диагонали в прямоугольнике равны друг другу). Каждый из таких треугольников имеет угол в 60° и сторону 12 см (половину длины диагонали), образуя равнобедренный треугольник.

Теперь, чтобы найти площадь каждого из равнобедренных треугольников, нам понадобится знание формулы для площади треугольника. Формула для площади равнобедренного треугольника, когда известны длины стороны и высоты, выглядит следующим образом:

Площадь треугольника = (длина стороны × длина высоты)/2

В данном случае, длина стороны равна 12 см. Чтобы найти длину высоты, мы можем воспользоваться тригонометрическим соотношением для равнобедренного треугольника:

высота = (длина стороны × √3)/2

Подставив известные значения, мы получим:

высота = (12 × √3)/2 = 6√3 см.

Теперь мы можем найти площадь каждого из равнобедренных треугольников, используя формулу:

Площадь треугольника = (длина стороны × длина высоты)/2 = (12 × 6√3)/2 = 36√3 см²

Наконец, чтобы найти площадь всего прямоугольника, мы должны сложить площади обоих равнобедренных треугольников:

Площадь прямоугольника = 2 × Площадь треугольника = 2 × 36√3 см² = 72√3 см²

Таким образом, площадь данного прямоугольника составляет 72√3 квадратных сантиметра.