2. Напишите уравнение плоскости, перпендикулярной вектору P1P2, если P1(-4;3;5), P2(-3;7;4), точка P1 лежит в плоскости. Найдите расстояние от точки A(3;-5;1) до плоскости. 3. Постройте треугольник ABC и найдите косинусы при вершинах. A(7;2;3), B(2;-3;4), C(-3;2;-2)

2) Находим уравнение плоскости α, проходящей через точку Р1(−4, 3, 5) и перпендикулярной заданной прямой L = Р1Р2:

(x + 4)/1 = (y − 3)/4 = (z − 5)/(−1).

Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой:

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0) = 0.                                                       (2)

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

q = {m, p, l} = {1, 4, −1}                                                                                 (3)

Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т.е. уравнение плоскости (2) примет следующий вид:

m(x−x0)+p(y−y0)+l(z−z0) = 0                                                                     (4)

Подставляя координаты точки Р1 и направляющего вектора q в (4), получим:

1(x−(−4))+4(y−3)−1(z−5) = 0                                                                            (5)

Упростим уравнение (5): x+4 y−1 z−3 = 0.                                                  (6)

ответ. Уравнение плоскости, проходящей через точку Р1(−4, 3, 5) и перпендикулярной прямой (1) имеет вид x+4 y−1 z−3 = 0.

3) Дан треугольник ABC с вершинами A(7;2;3), B(2;-3;4), C(-3;2;-2).

Точка А               Точка В             Точка С  

x y z          x y z              x y z

7 2 3          2 -3 4              -3 2 -2        

Вектор АВ            Вектор ВС                  Вектор АС  

x     y      z               x     y     z                   x   y z

-5   -5    1                -5    5    -6                  -10  0   -5

Модуль 51 7,14143 Модуль 86 9,27362 Модуль 125 11,18034

АВ х АС = 45   ВА х ВС = 6   СВ х СА = 80  

79,8436 0,5636   66,22688 0,090598   103,6822 0,771588515

 0,972056618   Радианы 1,480074279    0,689461756

Угол А =  55,69474166  Угол В = градус  84,80200957  Угол С =  39,50324876.

Данные расчёта в программе Excel плохо форматируются, поэтому дано фото во вложении.