1вариант

1. Угол C треугольника ABC- прямой. AD- перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. Докажите, что треугольник BCD- прямоугольный.

2. ABCD- квадрат, диагонали которого пересекаются в точке E. AH- перпендикуляр к плоскости квадрата. Докажите, что прямые HE и BD перпендикулярны.

3. Из вершины A квадрата ABCD со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр AE длиной 12 см. докажите, что треугольник BCE- прямоугольный. Найдите его площадь.

4. Из центра O квадрата ABCD со стороной 18 см к его плоскости восстановлен перпендикуляр OM длиной 12 см. Найдите площадь треугольника ABM

5. Отрезок AM перпендикулярен плоскости треугольника ABC и имеет длину 24 см. Найдите расстояние от точки M до прямой BC, если AB=AC=20 см., BC=24 см.

6. В правильном треугольнике ABC точка O- центр. OM- перпендикуляр к плоскостиABC. Найдите расстояние от точки M до стороны AB, если AB=10см., OM=5см.

1. Для того чтобы доказать, что треугольник BCD прямоугольный, мы должны показать, что угол BCD равен 90 градусам. Так как угол C равен 90 градусам (дано в условии), то достаточно показать, что угол B и угол D дополняют угол C до 180 градусов.

Из условия известно, что AD - перпендикуляр к плоскости треугольника ABC, поэтому AD перпендикулярен BA и BC. Это означает, что угол BAD и угол BCD являются противоположными углами. Так как противоположные углы дополняют друг друга до 180 градусов, мы получаем, что сумма углов B и D равна 180 градусам. Значит, угол BCD тоже равен 90 градусам. Таким образом, треугольник BCD прямоугольный.

2. Чтобы доказать, что прямые HE и BD перпендикулярны, мы можем воспользоваться свойством квадрата, которое гласит, что диагонали квадрата делят его на 4 равных прямоугольных треугольника.

Так как ABCD - квадрат и AH перпендикулярен плоскости квадрата, то AH является высотой треугольника ABC. Значит, угол CAH равен 90 градусам.

Также, так как E - точка пересечения диагоналей квадрата, то AE и CE являются диагоналями треугольника ABC. Из свойства квадрата мы знаем, что по определению диагоналей они являются перпендикулярными. Значит, угол AEC равен 90 градусам.

Теперь, чтобы доказать, что HE и BD перпендикулярны, достаточно показать, что угол HAE и угол DEA дополняют угол AEC до 180 градусов. Так как угол CAH равен 90 градусам, то сумма углов HAE и DEA также равна 90 градусам. Значит, прямые HE и BD перпендикулярны.

3. Чтобы доказать, что треугольник BCE прямоугольный, нам нужно показать, что угол BCE равен 90 градусам.

Так как из вершины A квадрата ABCD со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр AE длиной 12 см, то AE является высотой треугольника ABC. Значит, угол BAE равен 90 градусам.

Также, так как E - точка пересечения диагоналей квадрата ABCD, то AE и CE являются диагоналями треугольника ABC. По свойству квадрата мы уже знаем, что они перпендикулярны. Значит, угол AEC равен 90 градусам.

Теперь, чтобы доказать, что угол BCE равен 90 градусам, достаточно показать, что угол BCA и угол ACE дополняют угол AEC до 180 градусов. Так как угол BAE равен 90 градусам, то сумма углов BCA и ACE также равна 90 градусам. Значит, угол BCE равен 90 градусам. Таким образом, треугольник BCE - прямоугольный.

Чтобы найти площадь треугольника BCE, мы можем воспользоваться формулой площади прямоугольника: S = a * b, где a и b - длины его сторон. В нашем случае, одной из сторон треугольника BCE является высота AE, которая равна 12 см. Другой стороной является длина BC, которая равна 16 см. Подставляя значения в формулу, получаем: S = 12 см * 16 см = 192 квадратных сантиметра. Таким образом, площадь треугольника BCE равна 192 квадратных сантиметра.

4. Чтобы найти площадь треугольника ABM, мы можем воспользоваться формулой площади треугольника: S = 1/2 * a * h, где a - длина основания треугольника, а h - высота, опущенная на это основание.

В нашем случае, основанием треугольника ABM является отрезок AB, длина которого равна стороне квадрата ABCD и составляет 18 см. Высотой треугольника является отрезок OM, длина которого равна 12 см.

Подставляя значения в формулу, получаем: S = 1/2 * 18 см * 12 см = 108 квадратных сантиметров. Таким образом, площадь треугольника ABM равна 108 квадратных сантиметров.

5. Чтобы найти расстояние от точки M до прямой BC, мы можем воспользоваться формулой для расстояния между точкой и прямой: d = |(Ax + By + C)| / sqrt(A^2 + B^2), где (x, y) - координаты точки M, A, B, C - коэффициенты уравнения прямой, проходящей через BC.

У нас нет конкретных значений для координат точки M и коэффициентов уравнения прямой BC. Однако, мы можем воспользоваться информацией о треугольнике ABC для решения этой задачи.

По условию, треугольник ABC является равнобедренным треугольником, где AB = AC = 20 см, а BC = 24 см. Это означает, что прямая BC проходит через середину основания треугольника и делит его на два равных прямоугольных треугольника.

Так как отрезок AM перпендикулярен плоскости треугольника ABC, то он является высотой треугольника ABC. Значит, прямая AM делит треугольник на две равные части.

Теперь мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника и равенства высот для нахождения расстояния от точки M до прямой BC. Так как прямая AM делит треугольник ABC на две равные части, то мы можем сказать, что расстояние от точки M до прямой BC равно половине длины стороны BC, то есть d = 24 см / 2 = 12 см.

Таким образом, расстояние от точки M до прямой BC равно 12 см.

6. Чтобы найти расстояние от точки M до стороны AB в правильном треугольнике ABC, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до прямой на плоскости.

Так как OM перпендикулярен плоскости ABC, то мы можем сказать, что расстояние от точки M до стороны AB будет равно высоте треугольника ABC, опущенной на сторону AB.

В правильном треугольнике ABC центром является точка O, поэтому указанный отрезок OM является высотой треугольника ABC. Значит, расстояние от точки M до стороны AB равно длине отрезка OM.

Так как OM равен 5 см, то расстояние от точки M до стороны AB также равно 5 см.