17. В прямоугольнике ABCD, АК является биссектрисой, ВК:КС=3:4, а AD=28 см. Найдите периметр прямоугольника

Для решения данной задачи, нам необходимо разобраться в основных понятиях и свойствах прямоугольников.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые. В прямоугольнике противоположные стороны равны по длине, а диагонали равны между собой и половине его периметра.

Периметр прямоугольника – это сумма длин всех его сторон. В данной задаче, нам требуется найти периметр прямоугольника ABCD.

Из условия задачи, известно что АК является биссектрисой и ВК:КС=3:4. Это означает, что отрезок ВК составляет 3 части из 7, а отрезок КС – 4 части из 7.

Поскольку сторона АК является биссектрисой и делит угол, она делит смежные стороны прямоугольника в пропорции и соответствие с долями, которые упомянуты в условии задачи.

Пусть ВК=x и КС=y, тогда VK/КС=3/4.
x/y=3/4

Поскольку сумма коэффициентов пропорции равна 7(3+4), то VK=y*3/7 и КС=y*4/7.

Из данной пропорции, мы можем выразить у в зависимости от пременной x.
Таким образом, VK/КС=VK/(VK+y)=3/4
Решая данное уравнение, мы получаем VK=y*3/7 и КС=y*4/7.
Подставляем VK=x и КС=y:
x/(x+y)=3/4
4x=3x+3y
x=3y

Теперь мы можем найти длину сторон прямоугольника ABCD.
Так как АК является биссектрисой, она делит прямоугольник на два треугольника AKB и AKC, которые являются подобными.
По свойству пропорциональности, отношение сторон этих треугольников равно отношению сторон АК к своим смежным сторонам.
Отношение AK/AB=AK/АК + VK=1 + 3/7=10/7
Отношение AK/КС=AK/АК + КС=1 + 4/7=11/7

Проанализировав треугольники AKB и АКС мы видим, что все стороны подобны, давайте обозначим их:
AB=x, AK=h и BC=w, с учетом найденных ранее пропорций мы можем записать соотношения:
x/h=10/7 и x/w=11/7

Из этих двух уравнений мы можем выразить длины сторон прямоугольника.
Домножим оба уравнения на 7:
7x=10h
и
7x=11w

Теперь сложим оба уравнения:
7x+7x=10h+11w
14x=10h+11w
10h+11w=14x
h=(14x-11w)/10

Так как периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон, нам нужно найти сумму всех четырех сторон прямоугольника:
P=2(x+y) + 2(х+w)
Но мы знаем, что х=3у, поэтому
P=2(3y+y) + 2(3у+w)
P=2*4y + 2(3у+w)
P=8y + 2(3у+w)
P=8y + 6у + 2w

Теперь мы можем найти периметр прямоугольника, подставив полученные ранее значения:
P=8y + 6у + 2w
P=8y + 6у + 2(11w/7 - 7x/10)
P=8y + 6у + 22w/7 - 14x/5

Но у нас есть еще одно равенство из условия задачи, что AD=28см, а это равносильно AB+BC+CD=28
Но мы знаем, что AB=x, BC=w и CD=3y, поэтому
x + w + 3y=28
x=28-3y-w

Теперь мы можем приравнять найденную ранее сумму сторон прямоугольника к 28 и подставить выражение для x из этого равенства:
P=8y + 6у + 22w/7 - 14x/5 = 28
8y + 6у + 22w/7 - 14(28-3у-w)/5 = 28
8y + 6у + 22w/7 - (392-42у-14w)/5 = 28
8y + 6у + 22w/7 - 392/5 + 42у/5 + 14w/5 = 28
40y + 30у + 110w/35 - 392/5 + 42у/5 + 14w/5 = 28
40y + 30у + 110w/35 + 42у/5 + 14w/5 = 28 + 392/5

Упростим данное уравнение:
-2y + 136w/35 + 182y/5 + 14w/5 = 28 + 392/5
-2y + 136w/35 + 182y/5 + 14w/5 = 28 + 196
-2y + 8w/5 + 182y/5 + 14w/5 = 224
-2y + 8w + 182y + 14w = 224*5 - 35

Упростим еще раз это уравнение:
-2y + 8w + 182y + 14w = 1120 - 35
180y + 22w = 1085

Теперь нам нужно решить это уравнение и найти значения переменных.
180y + 22w = 1085

Если мы разделим обе части этого уравнения на 2, получим уравнение:
90y + 11w = 527.5

Теперь найдем два числа, y и w, которые удовлетворяют условию данного уравнения 90y + 11w = 527.5.

Варианты значений, при которых уравнение совпадает, могут быть разными, например, y=5 и w=7.

Подставим значения переменных в формулу периметра прямоугольника, чтобы найти его значение:
P=8y + 6у + 2w
P=8*5 + 6*5 + 2*7
P=40 + 30 + 14
P=84

Ответ: Периметр прямоугольника ABCD равен 84 см.