14.11 Докажите, что если две наклонные, проведённые из данной точки к данной прямой , имеют равные проекции , то они равны ( рис. 14.6 )​

Для доказательства данного утверждения мы можем использовать свойства подобных треугольников.

Допустим, у нас есть точка P, из которой проведены две наклонные PA и PB к данной прямой l. Из рисунка видно, что мы имеем два подобных треугольника: треугольник PAB и треугольник PCD.

Для начала, давайте обратим внимание на проекции: пусть PK и PL будут проекциями наклонных PA и PB соответственно на прямую l.

Из условия задачи мы знаем, что проекции PK и PL равны между собой. Пусть это значение обозначается как h.

Теперь давайте посмотрим на подобные треугольники PAB и PCD. Поскольку соответствующие углы A и C равны между собой (они образуют прямой угол), то эти треугольники будут подобными.

Из свойств подобных треугольников мы знаем, что соответствующие стороны в подобных треугольниках имеют пропорциональные длины.

Таким образом, мы можем записать следующее соотношение:
PA/PD = AB/CD
AB и CD - это высоты треугольников PAB и PCD соответственно.

Поскольку треугольники PAB и PCD подобны, то их высоты AB и CD также будут пропорциональны.

Теперь, обратимся к проекциям:
PK/PL = AB/CD

Мы уже знаем, что проекции PK и PL равны между собой и равны h.

Следовательно, мы можем записать:
h/h = AB/CD

Так как h/h = 1, то AB/CD = 1.

Это означает, что высоты AB и CD подобных треугольников равны друг другу.

Но если две высоты подобных треугольников равны, то и сами треугольники должны быть равными.

Таким образом, мы доказали, что наклонные PA и PB, проведенные из точки P к прямой l, являются равными.

Ответ: Если две наклонные, проведенные из данной точки к данной прямой, имеют равные проекции, то они равны.