13: 53мария из вершины c тупого угла треугольника abc проведена высота ch. точку h соединили с серединами m и n сторон ас и вс. а) докажите, что в четырехугольник cmhn можно вписать окружность. б) найдите ее радиус, если сумма сторон ас и вс равна 20, а площадь треугольника авс равна 24. ! )

Решение смотри в файле

Для решения данной задачи, давайте посмотрим на основные свойства и теоремы, которые нам понадобятся.

1. Определение четырехугольника, вписанного в окружность:
Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности.

2. Свойство вписанного четырехугольника:
Прямые, соединяющие середины противоположных сторон вписанного четырехугольника, делятся пополам и пересекаются в одной точке.

3. Свойство треугольника со срединным перпендикуляром:
Средний перпендикуляр к одной из сторон треугольника проходит через середину этой стороны и является высотой треугольника.

Теперь докажем, что в четырехугольник CMHN можно вписать окружность.

а) Докажем, что прямые CM и NH пересекаются в середине стороны CH, обозначим эту точку как P.

Из свойства треугольника со срединным перпендикуляром следует, что прямая MP является
высотой треугольника CMH и проходит через середину стороны HM. Также из того же свойства следует, что прямая NP является высотой треугольника CNH и проходит через середину стороны NH.

Таким образом, прямые MP и NP, соединяющие середины противоположных сторон CH и NH, делятся пополам.
Согласно свойству вписанного четырехугольника, эти прямые должны пересекаться в одной точке. Пусть это будет точка P — середина стороны CH.

б) Теперь найдем радиус окружности, вписанной в четырехугольник CMHN.

Так как CM = CH (высота треугольника CMH), то CM/2 = CH/2 = CP (так как CP является медианой треугольника CMH).
Также, так как NH = CH (высота треугольника CNH), то NH/2 = CH/2 = HP (так как HP является медианой треугольника CNH).

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника CNH:
NH^2 = NC^2 + CH^2.
Так как NH = 2HP и CH = 2CP (из предыдущего пункта), то получаем:
(2HP)^2 = NC^2 + (2CP)^2,
4HP^2 = NC^2 + 4CP^2,
HP^2 = (NC^2 + 4CP^2)/4.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника CNM:
NC^2 = CM^2 + NM^2.
Так как CM = 2CP (из предыдущего пункта), то получаем:
(NC^2) = (2CP)^2 + NM^2,
NC^2 = 4CP^2 + NM^2.

Подставим это выражение для NC^2 в предыдущую формулу для HP^2:
HP^2 = ((4CP^2 + NM^2) + 4CP^2)/4,
HP^2 = 8CP^2/4 + NM^2/4,
HP^2 = 2CP^2 + NM^2/4.

Так как прямая MN является медианой треугольника ACM, то имеем следующее равенство:
NM = 2AM.

Площадь треугольника ACM равна половине произведения основания AC на высоту CH. По условию площадь равна 24, а AC + CH = 20. Разделим первое уравнение на второе:
24/(AC⋅CH/2) = 20,
24⋅2/(AC⋅CH) = 20,
48/(AC⋅CH) = 20,
AC⋅CH = 48/20,
AC⋅CH = 2.4.

Чтобы найти NM, умножим AC на AC/AM:
AC/AM = CH/CM = 2CP/2CP = 1.

Таким образом,
NM = AC⋅AC/AM = AC^2.
Найдем квадрат NM:
(NM)^2 = (AC^2)^2,
NM^2 = AC^4.

Вернемся к формуле для HP^2 и подставим выражение для NM^2:
HP^2 = 2CP^2 + NM^2/4,
HP^2 = 2CP^2 + (AC^2)^2/4.

Теперь можем найти радиус окружности, вписанной в четырехугольник CMHN:
Радиус окружности = HP.

Таким образом, радиус окружности равен HP, то есть
радиус = √(2CP^2 + (AC^2)^2/4).