10 задача, не знаю как решить

ответ: 4

Очевидно, что ABC - правильный треугольник.

Из формул зависимости стороны от радиуса вписанной окр. и зависимости высоты от стороны в правильном треугольнике, можно легко вывести зависимость между непосредственно высотой радиусом вписанной окружности:

r=h/3.

проведем касательную к меньшей и большей окружности обозначим точки ее пересечения с AB и AC, как M и N. Также проведем диаметр к стороне BC(он будет совпадать с высотой), тогда оставшаяся часть равна 12. И эта часть является высотой правильного треугольника AMN(т.к. MN и BC параллельны, след. AMN=ANM=BAC=60, след. AMN-правильный). Значит для него работает наша формула r=12/3=4.

Объяснение:

В треугольник АВС , АВ=АС,∠ВАС=60°, вписаны две окружности как показано на рисунке. Найти радиус меньшей окружности , если радиус большей равен 12.

Объяснение:

Центры  окружностей  лежат на биссектрисе угла ∠ВАС ⇒ ∠О₂АС=60°:2=30° . Проведем О₁Н⊥О₂К. Тогда НО₁МК- прямоугольник, т.к. радиус , проведенный в точку касания , перпендикулярен касательной. Поэтому О₂Н=12-r₁.

ΔО₁О₂Н , О₁О₂=12+r₁ , ∠О₂О₁Н=30° ; по свойству угла в 30°  имеем

2(12-r₁)=12+r₁ , 12=3r₁ , r₁=4.