10 класс, . 50 . 1. в кубe abcda1b1c1d1 точки m и n являются серединами сторон bc и a1b1. найдите косинус угла mc1n 2. в кубе abcda1v1c1d1 найдите тангенс угла между плоскостью ada1 и плоскостью, проходящей через середины рёбер ad, a1d1 и cc1 3. дана наклонная призма abca1b1c1, основаниями которой являются правильные треугольники abc и a1b1c1. найдите синус угла наклона бокового ребра к плоскости основания, если высота призмы равна 3, а боковое ребро равно 1 4. дана наклонная призма abca1b1c1, ∠baa1= ∠caa1=45 °. найдите угол между плоскостями baa1 и caa1, если в основании призмы лежит правильный треугольник abc. ответ дайте в градусах 5. в кубе abcfa1b1c1d1 найдите угол между прямыми ba1 и a1c1. ответ дайте в градусах 6. в прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известны длины рёбер ab=8, ad=11, aa1=6. найдите синус угла между прямыми ab1 и cd1
ответ: найти сторону радиус описанной окружности периметр и площадь правильного треугольника в который вписали окружность радиуса 3
найдите седьмой член прогрессии,если b1=-25 q=-1/
есть треугольник abc, bm-медиана. найти bm. и есть отрезок от b равный 150 градусов .это
первый член прогрессии равен 11,а знаменатель прогрессии равен 2. найдите сумму пяти первых членов этой
найдите градусы 1 и 2 , если а б параллель
меньший и больший углы прямоугольного треугольника относятся как 2: 5. найдите градусную меру 3 угла
прямая mn является секущей для прямых ав и сd (м€ав,n€сd) угол amn равен 75 при каком значении ушла cnm прямые ав и cd могут быть
найдите сумму пяти первых членов прогрессии, если b5=81 b3=
Так как точки m и n являются серединами сторон bc и a1b1, то их координаты будут равны:
x_m = (x_b + x_c) / 2 = (0 + 0) / 2 = 0
y_m = (y_b + y_c) / 2 = (0 + 1) / 2 = 1/2
z_m = (z_b + z_c) / 2 = (0 + 0) / 2 = 0
x_n = (x_a1 + x_b1) / 2 = (1 + 1) / 2 = 1
y_n = (y_a1 + y_b1) / 2 = (0 + 1) / 2 = 1/2
z_n = (z_a1 + z_b1) / 2 = (1 + 0) / 2 = 1/2
Таким образом, координаты точек m и n равны m(0, 1/2, 0) и n(1, 1/2, 1/2).
Теперь мы можем использовать формулу косинуса для нахождения косинуса угла mc1n. Пусть вектор mc1 = (x_mc1, y_mc1, z_mc1), вектор mn = (x_mn, y_mn, z_mn) и угол между векторами mc1 и mn равен alpha.
x_mc1 = x_c1 - x_m = 1 - 0 = 1
y_mc1 = y_c1 - y_m = 1/2 - 1/2 = 0
z_mc1 = z_c1 - z_m = 1 - 0 = 1
x_mn = x_n - x_m = 1 - 0 = 1
y_mn = y_n - y_m = 1/2 - 1/2 = 0
z_mn = z_n - z_m = 1/2 - 0 = 1/2
Теперь найдем длины векторов mc1 и mn:
||mc1|| = √(x_mc1^2 + y_mc1^2 + z_mc1^2) = √(1^2 + 0^2 + 1^2) = √(2) = √2
||mn|| = √(x_mn^2 + y_mn^2 + z_mn^2) = √(1^2 + 0^2 + 1/2^2) = √(5/2)
Теперь мы можем использовать формулу косинуса:
cos(alpha) = (mc1 • mn) / (||mc1|| * ||mn||)
где • - это скалярное произведение векторов.
mc1 • mn = x_mc1 * x_mn + y_mc1 * y_mn + z_mc1 * z_mn = 1 * 1 + 0 * 0 + 1 * 1/2 = 1 + 0 + 1/2 = 3/2
Теперь подставим все значения в формулу:
cos(alpha) = (3/2) / (√2 * √(5/2))
Мы можем упростить знаменатель:
√2 * √(5/2) = √(2 * 5/2) = √(5)
Теперь можно окончательно решить:
cos(alpha) = (3/2) / √5
2. Для решения этой задачи мы должны найти векторы, лежащие в плоскостях ada1 и через середины ребер ad, a1d1 и cc1.
Векторы ada1 и ad:
Вектор ada1 = (x_a1 - x_a, y_a1 - y_a, z_a1 - z_a) = (1 - 0, 0 - 0, 1 - 0) = (1, 0, 1)
Вектор ad = (x_d - x_a, y_d - y_a, z_d - z_a) = (1 - 0, 1 - 0, 0 - 0) = (1, 1, 0)
Теперь найдем вектор, лежащий в плоскости, проходящей через середины ребер ad, a1d1 и cc1:
Вектор a1d1 = (x_d1 - x_a1, y_d1 - y_a1, z_d1 - z_a1) = (1 - 1, 1 - 0, 0 - 1) = (0, 1, -1)
Вектор cc1 = (x_c1 - x_c, y_c1 - y_c, z_c1 - z_c) = (1 - 0, 1 - 1, 1 - 0) = (1, 0, 1)
Теперь мы можем использовать формулу для нахождения тангенса угла между этими двумя плоскостями:
tg(beta) = |ad • (a1d1 x cc1)| / |ad| * |a1d1 x cc1|
где x - это векторное произведение векторов.
(a1d1 x cc1) = (0, 1, -1) x (1, 0, 1) = (1, 1, 1)
ad • (a1d1 x cc1) = (1, 1, 0) • (1, 1, 1) = 1 + 1 + 0 = 2
Теперь найдем длины векторов:
|ad| = √(1^2 + 1^2 + 0^2) = √2
|a1d1 x cc1| = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3
Теперь мы можем окончательно решить:
tg(beta) = |ad • (a1d1 x cc1)| / |ad| * |a1d1 x cc1| = 2 / (√2 * √3) = 2 / √(2 * 3) = 2 / √6
3. Для решения этой задачи мы можем использовать правило синусов для треугольников.
Введем обозначения:
h - высота призмы
l - боковое ребро призмы
Так как основаниями призмы являются правильные треугольники, угол между боковым ребром и горизонтальной плоскостью основания будет 90 градусов. Поэтому нам нужно найти угол между боковым ребром и плоскостью основания, который будет равен 90 градусам минус угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
Так как высота призмы равна 3 и боковое ребро равно 1, то мы можем использовать правило синусов:
sin(угол) = h / l = 3 / 1 = 3
Угол = arcsin(3) ≈ 1.5708 ≈ 90°
Таким образом, угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 90 градусов.
4. Угол между плоскостями baa1 и caa1 будет равен углу между нормалями этих плоскостей. Нормали каждой плоскости можно найти как векторное произведение векторов, лежащих в этих плоскостях.
Введем обозначения:
baa1 - вектор в плоскости baa1
caa1 - вектор в плоскости caa1
В плоскости baa1:
ba = (x_a - x_b, y_a - y_b, z_a - z_b) = (1 - 0, 0 - 0, 1 - 0) = (1, 0, 1)
ba1 = (x_a1 - x_b, y_a1 - y_b, z_a1 - z_b) = (1 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (1, 0, 0)
baa1 = ba x ba1 = (1, 0, 1) x (1, 0, 0) = (0, 1, 0)
В плоскости caa1:
ca = (x_a - x_c, y_a - y_c, z_a - z_c) = (1 - 0, 0 - 1, 1 - 0) = (1, -1, 1)
caa1 = ca x ba1 = (1, -1, 1) x (1, 0, 0) = (0, 1, 1)
Теперь мы можем найти угол между этими векторами, используя формулу для нахождения угла между векторами:
cos(угол) = (baa1 • caa1) / (||baa1|| * ||caa1||)
где • - это скалярное произведение векторов, || - это длина вектора.
baa1 • caa1 = (0, 1, 0) • (0, 1, 1) = 0 + 1 + 0 = 1
||baa1|| = √(0^2 + 1^2 + 0^2) = √1 = 1
||caa1|| = √(0^2 + 1^2 + 1^2) = √2
Теперь мы можем окончательно решить:
cos(угол) = (1) / (1 * √2) = 1 / √2 = √2 / 2
С помощью тригонометрических таблиц или калькулятора мы можем найти угол:
угол = arccos(√2 / 2) ≈ 0.7854 ≈ 45°
Таким образом, угол между плоскостями baa1 и caa1 составляет 45 градусов.
5. Для нахождения угла между прямыми ba1 и a1c1 мы можем использовать следующий подход.
Введем обозначения:
ba1 - вектор, параллельный прямой ba1
a1c1 - вектор, параллельный прямой a1c1
ba = (x_a1 - x_b, y_a1 - y_b, z_a1 - z_b) = (1 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (1, 0, 0)
a1c1 = (x_c1 - x_a1, y_c1 - y_a1, z_c1 - z_a1) = (1 - 1, 1 - 0, 1 - 0) = (0, 1, 1)
Теперь мы можем найти угол между этими векторами, используя формулу для нахождения угла между векторами:
cos(угол) = (ba • a1c1) / (||ba|| * ||a1c1||)
где • - это скалярное произведение векторов, || - это длина вектора.
ba • a1c1 = (1, 0, 0) • (0, 1, 1) = 0 + 0 + 0 = 0
||ba|| = √(1^2 + 0^2 + 0^2) = √1 = 1
||a1c1|| = √(0^2 + 1^2 + 1^2) = √2
Теперь мы можем окончательно решить:
cos(угол) = (0) / (1 * √2) = 0
С помощью тригонометрических таблиц или калькулятора мы можем найти угол:
угол = arccos(0) = 90°
Таким образом, угол между прямыми ba1 и a1c1 составляет 90 градусов.
6. Для нахождения синуса угла между прямыми ab1 и cd1 мы можем использовать следующий подход.
Введем обозначения:
ab1 - вектор, параллельный прямой ab1
cd1 - вектор, параллельный прямой cd1
ab = (x_b - x_a, y_b - y_a, z_b - z_a) = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 1) = (-1, 0, 0)
cd = (x_d1 - x_c, y_d1 - y_c, z_d1 - z_c) = (0 - 1, 1 - 1, 0 - 0) = (-1, 0, 0)
Теперь мы можем найти угол между этими векторами, используя формулу для нахождения угла между векторами:
cos(угол) = (ab • cd1) / (||ab|| * ||cd1||)
где • - это скалярное произведение векторов, || - это длина вектора