1.В треугольнике ABC угол А=а, угол В=B, BC=a. Найдите площадь треугольника и радиус окружности, описанной около него.
2.В параллелограмме АВСD даны стороны АВ=8см,АD=3/3См и угол А=60градусов.Найдите диагонали параллелограмма и его площадь.

1.)

Используем теорему синусов для определения длины АС.

АС / Sinα = BC / Sinβ.

AC = BC * Sinα / Sinβ = a * Sinα / Sinβ см.

Определим величину угла АСВ.

Угол АСВ = (180 – (α + β)).

Вычислим площадь треугольника АВС.

Sавс = АС * ВС * SinACB / 2 = (a * Sinα / Sinβ) * a * Sin(α + β) / 2 = a2 * Sinα * Sin(α + β) / 2 * Sinβ см2.

Радиус описанной окружности будет равен:

R = BC / 2 * SinBAC = a / 2 * Sinα см.

ответ:Площадь треугольника равна a2 * Sinα * Sin(α + β) / 2 * Sinβ см2, радиус описанной окружности равен a / 2 * Sinα см.

2.)У параллелограмма противоположные стороны равны, тогда АВ = СД 4 см, ВС = АД = 5 * √2 см.

Из треугольника АВД, по теореме косинусов, определим длину диагонали ВД.

ВД2 = АВ2 + АД2 – 2 * АВ * АД * Cos45 = 16 + 50 – 2 * 4 * 5 * √2 * √2 / 2 = 66 – 40 = 26.

ВД = √26 см.

Сумма соседних углов параллелограмма равна 1800, тогда угол АВС = 180 – 45 = 1350.

Из треугольника АВС, по теореме косинусов, определим длину диагонали АС.

АС2 = АВ2 + ВС2 – 2 * АВ * ВС * Cos135 = 16 + 50 – 2 * 4 * 5 * √2 * (-√2 / 2) = 66 + 40 = 106.

AC = √106 cм.

Определим площадь параллелограмма.

Sавсд = АВ * АД * Sin45 = 4 * 5 * √2 * √2 / 2 = 20 см2.

ответ: Площадь параллелограмма равна 20 см2, диагонали равны √26 см, √106 см.