1. В трапеции ABCD на боковых сторонах AB и CD отмечены точки M и N соответственно. Известно, что
AM:MB=DN:NC=3:5. Найдите MN, если BC = 5 и AD = 2.
2. На диагоналях AC и BD трапеции ABCD взяты соответственно точки M и N, причём AM : MC = DN : NB = 5 : 3.
Найдите MN, если основания AD = 4, BC = 3.
3. В круге проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M. Точка K — точка пересечения
биссектрисы угла BMD с хордой BD. Найдите отношение площадей треугольников BМK:DМК, если площади
треугольников CMB и AMD относятся как 1 : 7.

1. Для начала построим рисунок с заданными данными. Так как AM:MB=3:5, то мы можем разделить отрезок AB на 8 равных частей (3+5=8). Аналогично, так как DN:NC=3:5, мы можем разделить отрезок CD на 8 равных частей.

Теперь обозначим точку пересечения отрезков MN и BC как точку P. Поскольку BC = 5, а AD = 2, то AP = 5 - 2 = 3.

Посмотрим на треугольники AMP и CPN. Они подобны, так как угол AMP равен углу CPN (они являются вертикальными углами) и углы MAP и NCP равны по условию (они являются одними из вертикальных углов). Поэтому отношение их сторон должно быть равно отношению их высот:
AM/CP = MP/PN = AP/CN.

Мы уже знаем значения AM, AP и CN, поэтому можем найти CP:
AM/CP = AP/CN,
3/CP = 3/5,
5CP = 3*5,
CP = 3.

Теперь мы знаем длину отрезка CP, поскольку BC = 5 и CP = 3, мы можем найти NP:
NP = BC - CP,
NP = 5 - 3,
NP = 2.

Наконец, мы можем найти длину отрезка MN, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике MNP:
MN^2 = MP^2 + NP^2,
MN^2 = 3^2 + 2^2,
MN^2 = 9 + 4,
MN^2 = 13,
MN = √13.
Ответ: MN = √13.

2. Снова построим рисунок с заданными данными. По условию задачи, AM:MC=5:3 и DN:NB=5:3.

Так как основание AD = 4, а основание BC = 3, мы можем разделить отрезок AC на 8 равных частей (5+3=8). Аналогично, так как основание BD = 4, а основание BC = 3, мы можем разделить отрезок BD на 7 равных частей (5+3-1=7).

Обозначим точку пересечения отрезков MN и AC как точку P. Подобно первому примеру, мы можем применить теорему Пифагора для нахождения MN:
MN^2 = MP^2 + PA^2.

Заметим, что треугольники AMP и CNP также подобны. Поэтому отношение их сторон должно быть равно отношению их высот:
AM/CP = MP/PN = AP/CN.

Подставим данные:
5/CP = MP/7,
AP/(AC-CP) = AP/3.

Поскольку AM:MC=5:3, мы можем записать:
5/3 = AM/MP.

Теперь у нас есть система уравнений из трех уравнений:
5/CP = MP/7,
AP/(AC-CP) = AP/3,
5/3 = AM/MP.

Найдем MP:
5/CP = MP/7,
7*MP = 5*CP,
MP = 5CP/7.

Зная эту формулу, мы можем заменить MP в уравнении:
5/3 = AM/(5CP/7),
25CP/21 = 15AM/10,
15AM = 21CP,
AM = 21CP/15.

Теперь мы можем записать выражение для PA:
AP = AC - CP,
AP = 8 - 3,
AP = 5.

Подставим найденные значения в уравнение для вычисления MN:
MN^2 = MP^2 + PA^2,
MN^2 = (5CP/7)^2 + 5^2.

Распишем выражение:
MN^2 = (25CP^2)/49 + 25,
MN^2 = 25(CP^2 + 49)/49.

Теперь заменим CP на его значение:
MN^2 = 25((3/5)^2 + 49)/49,
MN^2 = 25(9/25 + 49)/49,
MN^2 = 25(9 + 1225)/1225,
MN^2 = 25*1234/1225.

Упростим до конца:
MN^2 = 30,2.
MN = √30,2.

Ответ: MN = √30,2.

3. Необходимо построить рисунок с заданными данными. На рисунке AB и CD - хорды, пересекающиеся в точке M. Точка K - точка пересечения биссектрисы угла BMD с хордой BD.

По условию задачи, площадь треугольника CMB в 1 раз меньше площади треугольника AMD, то есть ratio(BCM/AMD) = 1/7.

Отношение площадей равно отношению соответствующих сторон, умноженному на косинус угла между этими сторонами.

Пусть x = area(BMK)/area(DMK).

Площадь треугольника CMB равна:
area(CMB) = 1.5 * area(BCM) = 1/7 * area(AMD).

Выразим площадь треугольника AMD:
area(AMD) = 7 * area(CMB) = 21 * area(BMK)/x.

Теперь мы знаем площади треугольников BKM и MDK, а также их отношение:
area(DMK)/x = 1/x = ratio(AMD/BMK) = area(AMD)/area(BMK) = 21 * area(BMK)/(area(BMK)*x) = 21/x.

Упростим это уравнение:
1 = 21/x^2,
x^2 = 21.

Наконец, найдем x:
x = √21.

Ответ: x = √21.