1. В равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС, ВЕ - биссектриса, точка Н лежит на биссектрисе ВЕ, ВЕ равно 5см, АВ равно 10 см. Найдите скалярное произведение вектора АС и суммы векторов НВ и СН. Найдите скалярное произведение векторов ВЕ и СВ.
2. Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в точке О, АС = 6см, АВ = 3 см. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АС; АО и ОД; АД и ДС.

Для решения задачи, нам понадобятся некоторые знания о равнобедренных треугольниках, биссектрисах, векторах и скалярном произведении векторов.

1. Для начала построим треугольник АВС согласно условиям задачи:
- нарисуем отрезок АВ длиной 10 см,
- проведем на нем отрезок ВС длиной 10 см так, чтобы он равнялся отрезку АВ,
- проведем биссектрису треугольника АВС (прямую, которая делит угол АВС пополам) и обозначим ее точкой Е,
- выберем произвольную точку H на биссектрисе ВЕ.

Теперь перейдем к решению задачи:
- Найдем длину отрезка АС, используя свойство равнобедренных треугольников: АС = АВ = 10 см.
- Выразим векторы АС, НВ и СН в координатной форме:
- Вектор АС (x1, y1) = (xC - xA, yC - yA) = (10 - 0, 0 - 0) = (10, 0)
- Вектор НВ (x2, y2) = (xH - xB, yH - yB)
- Заметим, что точка B имеет координаты (0, 0), поскольку мы начали строить треугольник с точки А.
- Так как точка H лежит на биссектрисе ВЕ, то координаты точки H будут иметь вид (x, 0), где x - координата точки H по оси x.
- Тогда вектор НВ можно записать как (x - 0, 0 - 0) = (x, 0).
- Вектор СН (x3, y3) также равен (x - 0, 0 - 0) = (x, 0).
- Сложим векторы НВ и СН: (x2, y2) + (x3, y3) = (x, 0) + (x, 0) = (2x, 0).
- Вычислим скалярное произведение вектора АС и полученной суммы векторов НВ и СН:
- (АС) * (НВ + СН) = (10, 0) * (2x, 0) = 10 * 2x + 0 * 0 = 20x, где x - координата точки H по оси x.
- Найдем скалярное произведение векторов ВЕ и СВ:
- Вектор ВЕ (x4, y4) = (xE - xB, yE - yB) = (5 - 0, 0 - 0) = (5, 0).
- Вектор СВ (x5, y5) = (xC - xB, yC - yB) = (10 - 0, 0 - 0) = (10, 0).
- (ВЕ) * (СВ) = (5, 0) * (10, 0) = 5 * 10 + 0 * 0 = 50.

Ответ на первую часть вопроса: скалярное произведение вектора АС и суммы векторов НВ и СН равно 20x, где x - координата точки H по оси x. Скалярное произведение векторов ВЕ и СВ равно 50.

2. Построим прямоугольник ABCD согласно условиям задачи:
- нарисуем отрезок AB длиной 3 см,
- проведем на нем отрезок AC длиной 6 см так, чтобы он пересекался с AB,
- проведем прямую BD, проходящую через точку B и перпендикулярную AC,
- обозначим точку пересечения AC и BD как O,
- проведем отрезок AD и отрезок CD, чтобы получить прямоугольник ABCD.

Теперь перейдем к решению задачи:
- Выразим векторы AB и AC в координатной форме:
- Вектор AB (x1, y1) = (xB - xA, yB - yA) = (0 - 0, 0 - 0) = (0, 0)
- Вектор AC (x2, y2) = (xC - xA, yC - yA) = (0 - 0, 6 - 0) = (0, 6)
- Вычислим скалярное произведение вектора AB и вектора AC:
- (AB) * (AC) = (0, 0) * (0, 6) = 0 * 0 + 0 * 6 = 0.
- Выразим векторы AO и OD в координатной форме:
- Вектор AO (x3, y3) = (xO - xA, yO - yA)
- Точка A имеет координаты (0, 0), поскольку это начало координат.
- Так как точка O является точкой пересечения диагоналей прямоугольника, ее координаты будут иметь вид (x, y).
- Тогда вектор AO можно записать как (x - 0, y - 0) = (x, y).
- Вектор OD (x4, y4) = (xD - xO, yD - yO)
- Аналогично, точка D имеет координаты (3, 0), поскольку она лежит на оси x в положительном направлении.
- Тогда вектор OD можно записать как (3 - x, 0 - y) = (3 - x, -y).
- Вычислим скалярное произведение вектора AO и вектора OD:
- (AO) * (OD) = (x, y) * (3 - x, -y) = x(3 - x) + y(-y) = 3x - x^2 - y^2.
- Выразим векторы AD и DC в координатной форме:
- Вектор AD (x5, y5) = (xD - xA, yD - yA) = (3 - 0, 0 - 0) = (3, 0)
- Вектор DC (x6, y6) = (xA - xD, yA - yD) = (0 - 3, 0 - 0) = (-3, 0).
- Вычислим скалярное произведение вектора AD и вектора DC:
- (AD) * (DC) = (3, 0) * (-3, 0) = 3 * (-3) + 0 * 0 = -9.

Ответ на вторую часть вопроса: скалярное произведение вектора AB и вектора AC равно 0, скалярное произведение вектора AO и вектора OD равно 3x - x^2 - y^2, скалярное произведение вектора AD и вектора DC равно -9.