1. в равнобедренном треугольнике авс (ав = вс) проведена биссектриса вк. найдите угол вкс.

2. в равнобедренном треугольнике еfк отрезки ef и fk являются боковыми сторонами. укажите равные углы треугольника еfк.

3. в равнобедренном треугольнике mnk отрезок мк – основание. укажите равные углы треугольника mnk.

4. на основании какого свойства равнобедренного треугольника можно доказать, что медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, принадлежит серединному перпендикуляру основания?

5. на основании какого свойства равнобедренного треугольника можно доказать, что каждая точка биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию, равноудалена от вершин углов при основании?

6. в треугольнике авс биссектриса и медиана, проведенные из вершины а, . также биссектриса и медиана, проведенные из вершины в. докажите, что биссектриса и медиана, проведенные из вершины с, также .

7. определите вид треугольника, в котором ни одна высота не совпадает ни с одной медианой.

8. дан отрезок ав. какую фигуру образуют все такие точки х, что треугольник ахв – равнобедренный с основанием ав?

решите, 7 класс

1. Для решения данной задачи воспользуемся свойством равнобедренного треугольника, которое гласит, что биссектриса угла равнобедренного треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные остальным двум сторонам треугольника.

Обозначим угол, смежный с углом ВКС, как ВКА. Так как треугольник АВС - равнобедренный, то стороны АВ и ВС равны, то есть АВ = ВС.

Пусть ВК - биссектриса угла ВКС. По свойству биссектрисы, отношение отрезков ВК и КС равно отношению сторон ВА и АС: ВК/КС = ВА/АС.

Так как стороны АВ и ВС равны, то ВА = АС.
Подставим эти значения в предыдущее равенство:
ВК/КС = 1/1 = 1.

Значит, отношение отрезков ВК и КС равно 1, то есть ВК = КС.

Таким образом, угол ВКС является прямым углом (180 градусов).

2. В равнобедренном треугольнике ЕФК углы при основании, то есть EF и FK, равны.

Обозначим эти углы как угол Е и угол F. Так как треугольник равнобедренный, то стороны EF и FK равны, а значит, углы FЕК и КЕF также равны.

Таким образом, в треугольнике ЕФК имеются два равных угла: угол Е и угол F.

3. В равнобедренном треугольнике МНК угол при основании, то есть угол К, равен углу М.

4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, принадлежит серединному перпендикуляру основания из-за свойства равнобедренных треугольников, которое утверждает, что высота равнобедренного треугольника, проведенная из вершины к основанию, является одновременно и биссектрисой этого угла.

5. Каждая точка биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию, равноудалена от вершин углов при основании из-за свойства равнобедренных треугольников, которое гласит, что биссектрисы острого угла и прилежащих к нему острого и тупого углов равнобедренного треугольника являются симметричными относительно серединного перпендикуляра к основанию.

6. Если в треугольнике АВС биссектриса и медиана, проведенные из вершин А и В, совпадают, то это значит, что треугольник равнобедренный. Докажем, что в таком случае биссектриса и медиана, проведенные из вершины С, также совпадают.

Пусть M - середина стороны АВ, и BI - биссектриса угла АВС, а также MN и AI - медианы, проведенные из вершин C и A соответственно. Поскольку треугольник АВС - равнобедренный, то AM = BM (так как M - середина стороны АВ). Более того, так как BI - биссектриса, то угол АBI равен углу ВBI (по определению биссектрисы).

Рассмотрим треугольник АMN. Так как AM = BM и углы АBI и ВBI равны, то треугольник АMN равен треугольнику BMN по двум сторонам и углу (ПСУ). Получается, сторона NМ равна стороне НМ, а значит, точка N совпадает с точкой Н.

Таким образом, биссектриса и медиана, проведенные из вершины С, также совпадают.

7. Треугольник, в котором ни одна высота не совпадает ни с одной медианой, является разносторонним треугольником. В таком треугольнике ни одна сторона не равна другим сторонам, а, следовательно, и ни один угол не равен другим углам.

8. Все точки х, при которых треугольник АХВ является равнобедренным с основанием АВ, образуют прямую линию, параллельную основанию, и соединяют две точки, равноудаленных от основания. Получается, фигура, образованная всеми такими точками х, является параллельным пересечением двух отрезков, соединяющих две точки, равноудаленные от основания АВ.